Question

Докажите тождество:
$\displaystyle \frac{4tg x}{1 + tg {}^{2} x} = 2sin2x$
​

Answer 1

$\displaystyle \frac{4\text{tg}x}{1 +\text{tg} {}^{2} x} = 2\sin2x$

Пригодятся основные триг.тождества:

$\displaystyle \tt\text{tg}x =\frac{\sin x}{\cos x}$

$\displaystyle \tt 1+\text{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x}$

Формула двойного угла для синуса:

$\displaystyle\tt \sin2x=2\sin x \,*\,\cos x$

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Решение

$\displaystyle 4 \text{tg}x : (1+\text{tg}^2x)= 4 \text{tg}x : \boldsymbol{\frac{1}{\cos^2x}}= 4\boldsymbol{ \frac{\sin x}{\not{\cos x}}} \,*\, \cos^{\not2}x=$

$\displaystyle =4\sin x \,*\,\cos x = 2\,*\,\boldsymbol{2\sin x \,*\, \cos x}= 2\sin2x$

Тождество доказана!