Question

4. В уравнения х2+4х+q=0 один из его корней равен 4. Найдите другой корень и свободный член д.​

Answer 1

Ответ: второй корень равен -8; свободный член q = -32.

$x^2+4x+q=0.\\D=b^2-4ac=4^2-4q=16-4q.\\x_1=\frac{-4+\sqrt{16-4q}}{2}; \ x_2=\frac{-4-\sqrt{16-4q}}{2}.$

Приравняем сначала один, затем другой корень к 4.
1ый случай. х1 = 4:

$\frac{-4+\sqrt{16-4q}}{2}=4;\\-4+\sqrt{16-4q} = 8.\\-4+\sqrt{4(4-q)} = 8.\\-4+2\sqrt{4-q}=8 \ (:-2)\\2-\sqrt{4-q} = -4\\\sqrt{4-q} = 6.\\4-q=36.\\q=-32.$
Таким образом, мы нашли свободный член. Находим другой корень:

$x_2=\frac{-4-\sqrt{16-4q}}{2} = \frac{-4-\sqrt{16-4\cdot (-32)}}{2} = \frac{-4-\sqrt{16+128}}{2} = \frac{-4-12}{2}=\frac{-16}{2}=-8.$
2ой случай. х2 = 4:

$\frac{-4-\sqrt{16-4q}}{2}=4;\\-4-\sqrt{16-4q} = 8.\\-4-\sqrt{4(4-q)} = 8.\\-4-2\sqrt{4-q}=8 \ (:-2)\\2+\sqrt{4-q} = -4\\\sqrt{4-q} = -6.\\q\in \varnothing.$
Как вы видите, в этом случае свободного члена быть не может.