Question

5. BM медиана остроугольного треугольника АВС. Биссектриса угла С пересекает прямую, проходящую через А параллельно ВС, в точке Х. Оказалось, что BM = MX Докажите, что BC > AC
Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Доказано, что ВС > AC.

Объяснение:

5. BM медиана остроугольного треугольника АВС. Биссектриса угла С пересекает прямую, проходящую через А параллельно ВС, в точке Х. Оказалось, что BM = MX Докажите, что BC > AC.

Дано: ΔАВС - остроугольный;

ВМ - медиана;

СХ - биссектриса ∠С;

АХ || ВС; АХ ∩ СХ = Х

ВМ = МХ.

Доказать: BC > AC.

Доказательство:

Соединим Х и В. Проведем МН ⊥ ХВ.

1. Рассмотрим ΔАХС.

∠АСХ = ∠ХСВ (СХ - биссектриса)

∠АХС = ∠ХСВ (накрест лежащие при АХ || ВС и секущей ХС)

⇒∠АСХ = ∠АХС

• Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ АХ = АС.

2. Рассмотрим ΔХМВ - равнобедренный (ВМ = МХ)

МН ⊥ ХВ (построение) ⇒ МН - высота.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой.

⇒ ХН = НВ.

3. Рассмотрим АХВС.

АХ || ВС (условие) ⇒ АХВС - трапеция.

АМ = МС (условие)

ХН = НВ (п.2)

⇒ МН - средняя линия АХВС.

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям.

МН || AX || BC.

МН ⊥ ХВ

• Если отрезок перпендикулярен одной из параллельных прямых, то он перпендикулярен и к другой прямой.

⇒ АХ ⊥ ХВ; ВС ⊥ ХВ

⇒ АХВС - прямоугольная трапеция.

∠С - острый (ΔАВС - остроугольный)

⇒ ВС - большее основание, то есть

ВС > AX

AX = AC (п.1)

⇒ ВС > AC.

#SPJ1