Внутри стороны BC выпуклого четырехугольника ABCD нашлась такая точка E, что прямая AE делит четырёхугольник на две равные по площади части. Какая из вершин четырехугольника находится дальше всех от прямой AE? (И. Рубанов, Д. Ширяев)
Ответы
Ответ:Точки B, D
Пошаговое объяснение:
Проведем высоту из точки D на сторону BC в треугольнике DBC (основание высоты может оказаться и на продолжении стороны BC, на дальнейшие рассуждения это влиять не будет). Заметим, что площадь треугольника DBC = BC * h /2. Проведем через точку D прямую l, параллельную AC. Заметим, что для каждой точки прямой l высота h сохраняется, а BC также не меняется, следовательно, для всех таких точек не меняются параметры задачи: равенство площадей треугольника ABE и AECD и расстояния от точек A,B,C,D до прямой AE, поэтому мы может рассмотреть вырожденный случай: B,E,C,D, находятся на одной прямой.Таким образом, для треугольника ABD прямая AE делит его площадь пополам. Пусть h1, h2 - высоты, опущенные из точек A,D на прямую AE соответственно. Площади треугольников BAE, DAE равны AE * h1/ 2 и AE * h2/2, откуда h1=h2. Также, если h3 - величина высоты, опущенной из точки C на AE, то h3<h2, т.е. точка C находится на отрезке ED и EC<ED. Также заметим, что расстояние от точки A до прямой AE равно нулю.Ответ: точки B,D: расстояния от точек B,D до прямой AE равны и больше расстояния от точки C до прямой AE.