Question

Найдите площадь треугольника,ограниченного осями координат и касательной,проведенной к графику функции y=$frac{x}{2x-1}$ в точке x(нулевое)=1.

Answer 1

касательная в точке х=1
$y-y_0=y'_0(x-x_0);\ y=y'_0(x-x_0)+x_0;\ y_0=y(x_0);\ y'_0=y'(x_0);\ y'=(frac{x}{2x-1})'=frac{2x-1-2x}{(2x-1)^2}=frac{1}{(2x-1)^2};\ x_0=1; y_0=frac{1}{2-1}=1; y'_0=1;\ y=1cdot(x-1)-1=x-2;$
y=x-2 уравнение касательной,
ограничена ею и осями координат
OY -итегрируем с х=0;
ОХ-до точки пересичения графика с ОХ(у=0)==>x-2=0==>x=2
$S= left|intlimits^2_0 {x-2} , dxright|=left|frac{x^2}{2}left|_0^2-2xright|_0^2right|=\ =left|frac{1}{2}(2^2-0^2)-2(2-0)right|=left|2-4right|=2;$
проверить можно, касательная пересекает оси координат в точках (0;-2) и (2;0),
у нас прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2, а площадь (1/2)*2*2=2