Question

довести тотожность
$\frac{2y}{y + 3} + (y - 3) {}^{2} ( \frac{2}{9 - 6y + y {}^{2} } + \frac{1}{9 - y {}^{2} } ) = 3$
Пожалуйста, помогите!!​

Answer 1

заметим, что знаменатель дроби  $\frac{2}{9-6y+y^2}$  - полный квадрат, т.е.

$9-6y+y^2=(y-3)^2$

теперь разложим по формуле сокращенного умножения знаменатель дроби $\frac{1}{9-y^2}$: $9-y^2=(3-y)(3+y)=-(y-3)(y+3)$

таким образом, исходное выражение примет вид:

$\frac{2y}{y+3} +(y-3)^2 (\frac{2}{(y-3)^2} +\frac{1}{-(y-3)(y+3)} )=3$

Сразу видно, что в выражении повторяются $(y+3)и (y-3)$, поэтому для визуального удобства заменим их в выражении переменными а и b соответственно: $\frac{2y}{a} +b^2 (\frac{2}{b^2} +\frac{1}{-ab} )=3$

раскроем скобки и домножим обе части уравнения на "a":

$2y + \frac{2ab^2}{b^2}-\frac{ab^2}{ab}=3a$

$2y+2a-b=3a$

сделаем обратную замену и приведем подобные:

$2y+2(y+3)-(y-3)=3(y+3)$

$2y+2y+6-y+3=3y+9$

$3y+9=3y+9$

тождество доказано.