Question

Даю 100 баллов. Кто может дать обьеснение формуле Sn?
Обьесните пожалуйста откуда оно взялось?​

Answer 1

Вывод формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Первый способ.

Необходимо найти сумму первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{n-1}+b_n$

Умножим левую и правую части равенства на $q\neq 0$:

$S_nq=b_1q+b_2q+b_3q+\ldots+b_{n-1}q+b_nq$

Поскольку произведение предыдущего члена на знаменатель прогрессии дает последующий член, то упростим все слагаемые в правой части, кроме последнего:

$S_nq=b_2+b_3+b_4+\ldots+b_n+b_nq$

Теперь из полученного соотношение вычтем исходное:

$S_nq-S_n=(b_2+b_3+b_4+\ldots+b_n+b_nq)-(b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{n-1}+b_n)$

Слагаемые, начиная с $b_2$ и заканчивая $b_n$, присутствуют в двух скобках в правой части, поэтому после раскрытия скобок эти слагаемые взаимно уничтожатся:

$S_nq-S_n=b_2+b_3+b_4+\ldots+b_n+b_nq-b_1-b_2-b_3-\ldots-b_{n-1}-b_n$

$S_nq-S_n=b_nq-b_1$

Распишем n-ый член прогрессии по соответствующей формуле (на картинке справа):

$S_nq-S_n=b_1q^{n-1}q-b_1$

$S_nq-S_n=b_1q^n-b_1$

Остается вынести общие множители за скобки в обеих частях соотношения и выразить сумму:

$S_n(q-1)=b_1(q^n-1)$

$\boxed{S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} }$

Второй способ.

Необходимо найти сумму первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{n-1}+b_n$

Используя формулу n-ого члена геометрической прогрессии (которая записана на картинке справа), можно записать:

$S_n=b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots+b_1q^{n-2}+b_1q^{n-1}$

Естественно, первый член можно вынести за скобки:

$\boxed{S_n=b_1(1+q+q^2+\ldots+q^{n-2}+q^{n-1})}$

Данная формула зависит только от двух параметров: первого члена и знаменателя прогрессии, однако в силу неудобства выражения, записанного в скобках, ею практически никто и никогда не пользуется.

Чтобы упростить выражение, записанное в скобках, вспомним формулу, являющуюся обобщением формулы разности квадратов, разности кубов, и т.д:

$x^k-y^k=(x-y)(x^{k-1}+x^{k-2}y+\ldots+xy^{k-2}+y^{k-1}),\ k\in\mathbb{N}$

В частности, при $y=1$, получим:

$x^k-1=(x-1)(x^{k-1}+x^{k-2}+\ldots+x+1)$

Тогда, выразив большую скобку из правой части получим:

$x^{k-1}+x^{k-2}+\ldots+x+1=\dfrac{x^k-1}{x-1}$

В стандартных обозначениях для геометрической прогрессии это выражение перепишется в виде:

$q^{n-1}+q^{n-2}+\ldots+q+1=\dfrac{q^n-1}{q-1}$

А сама формула примет вид:

$\boxed{S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} }$