Question

Найти матрицу A^-1 обратную матрице А

Answer 1

Ответ:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&2&1\\3&1&2\end{array}\right)\\\\\\detA=2\cdot (4-1)-(0-3)+(0-6)=6+3-6=3\ne 0\ \ \Rightarrow$  

Значит обратная матрица существует .

Найдём алгебраические дополнения .

$A_{11}=3\ \ ,\ \ A_{12}=3\ \ ,\ \ A_{13}=-6\\\\A_{21}=-1\ \ ,\ \ A_{22}=1\ \ ,\ \ A_{23}=1\\\\A_{31}=-1\ \ ,\ \ A_{32}=-2\ \ ,\ \ A_{33}=4$  

Обратная матрица имеет вид:

$A^{-1}=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{ccc}3&-1&-1\\3&1&-2\\-6&1&4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&-1/3&-1/3\\1&1/3&-2/3\\-2&1/3&4/3\end{array}\right)=$  

Проверка .

$A^{-1}\cdot A=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{ccc}3&-1&-1\\3&1&-2\\-6&1&4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\0&2&1\\3&1&2\end{array}\right)=\dfrac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{array}\right)=\\\\\\=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)=$