Question

Записать формулу для производной
n -го порядка указанной
функции: y=x/(3x+1)

Answer 1

$y=\dfrac{x}{3x+1}$

Находим первую производную:

$y'=\dfrac{x'(3x+1)-x(3x+1)'}{(3x+1)^2} =\dfrac{1\cdot(3x+1)-x\cdot3}{(3x+1)^2} =\dfrac{3x+1-3x}{(3x+1)^2} =\dfrac{1}{(3x+1)^2}$

Для удобства перепишем ее в виде:

$y'=(3x+1)^{-2}$

Продолжаем находить производные высших порядков:

$y''=-2\cdot (3x+1)^{-3}\cdot(3x+1)'=-2\cdot (3x+1)^{-3}\cdot3$

$y'''=-2\cdot(-3)\cdot(3x+1)^{-4}\cdot(3x+1)'\cdot3=2\cdot3\cdot(3x+1)^{-4}\cdot3^2$

$y^{(4)}=2\cdot3\cdot(-4)\cdot(3x+1)^{-5}\cdot (3x+1)'\cdot3^2=-2\cdot3\cdot4\cdot(3x+1)^{-5}\cdot3^3$

$y^{(5)}=-2\cdot3\cdot4\cdot(-5)\cdot(3x+1)^{-6}\cdot (3x+1)'\cdot3^3=2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot(3x+1)^{-6}\cdot3^4$

Прослеживается закономерность: Последующая производная может быть получена из предыдущей путем домножения ее на коэффициент, равный порядку находимой производной, а также на выражение $-3(3x+1)^{-1}$.

Заметим, что удобно переписать производные в виде дроби и с использованием факториала. Перепишем в обратном направлении ранее найденные производные:

$y^{(5)}=2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot(3x+1)^{-6}\cdot3^4=\dfrac{5!\cdot3^4}{(3x+1)^6}$

$y^{(4)}=-2\cdot3\cdot4\cdot(3x+1)^{-5}\cdot3^3=-\dfrac{4!\cdot3^3}{(3x+1)^5}$

$y'''=2\cdot3\cdot(3x+1)^{-4}\cdot3^2=\dfrac{3!\cdot3^2}{(3x+1)^4}$

$y''=-2\cdot(3x+1)^{-3}\cdot3=-\dfrac{2!\cdot3^1}{(3x+1)^3}$

И даже первую производную для единообразия представим в аналогичном виде:

$y'=(3x+1)^{-2}=\dfrac{1!\cdot3^0}{(3x+1)^2}$

Тогда, несложно записать формулу для производной n-ого порядка:

$\boxed{y^{(n)}=(-1)^{n+1}\cdot\dfrac{n!\cdot3^{n-1}}{(3x+1)^{n+1}}}$