Question

помогите решить сложный интеграл!!!(даю 100 баллов)

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int\limits {\frac{3x}{\sqrt[3]{3x+1} } } \, dx =\frac{(3x+1)^{\tfrac{5}{3} }}{5} -\frac{(3x+1)^{\tfrac{2}{3} }}{2}+C$

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits {\frac{3x}{\sqrt[3]{3x+1} } } \, dx = \left[\begin{array}{lll}3x +1 = t \\3x = t-1 \\ d(x) = \dfrac{1}{3}\cdot d(3x+1) \end{array}\right] =\frac{1}{3} \int\limits {\frac{t-1}{\sqrt[3]{t} } } \, dt =$

$\displaystyle =\frac{1}{3 } \int\limits t^{\tfrac{2}{3} }-t^{-\tfrac{1}{3} } \,dt =\frac{1}{3} \left (\frac{t^{\tfrac{2}{3}+1 }}{\dfrac{2}{3}+1 } -\frac{t^{-\tfrac{1}{3} +1}}{-\dfrac{1}{3}+1 } \right ) = \frac{1}{3} \Bigg ( \frac{3}{5} t^{\tfrac{5}{3}}-\frac{3}{2}t^{\tfrac{2}{3} } } \Bigg ) =\frac{t^\tfrac{5}{3}}{5}-\frac{t^{\tfrac{2}{3} } }{2}$

Вернемся к старой переменной

$\displaystyle \frac{t^\tfrac{5}{3}}{5}-\frac{t^{\tfrac{2}{3} } }{2} =\frac{(3x+1)^{\tfrac{5}{3} }}{5} -\frac{(3x+1)^{\tfrac{2}{3} }}{2}+C$