Question

Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение функции:

$\displaystyle f(1)=2\frac{1}{2}$ ;

Наименьшее значение функции:

$\displaystyle f(-2)=-2$

Пошаговое объяснение:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке:

$\displaystyle f(x)=x^3+\frac{3}{2}x^2;\;\;\;\;\;[-2;1]$

Найдем значения функции на концах отрезка:

$\displaystyle f(-2) = (-2)^3+\frac{3}{2}\cdot (-2)^2 =-8+6=-2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\\\f(1)=1^3+\frac{3}{2}\cdot1^2=1+\frac{3}{2}=2\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Найдем экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle f'(x)=3x^2+\frac{3}{2}\cdot 2x=3x^2+3x=3x(x+1)\\ \\f'(x)=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;3x(x+1)=0\\\\x_1=0;\;\;\;\;\;x_2=-1$

$+++[-1]---[0]+++$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

$\displaystyle x \;max=-1;\;\;\;\;\;x\;min=0$

Найдем значения функции в этих точках:

$\displaystyle f(-1)=(-1)^3+\frac{3}{2}(-1)^2=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3) \\\\f(0)=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$

Сравним значения функции в (1), (2), (3), (4).

Наибольшее значение функции:

$\displaystyle f(1)=2\frac{1}{2}$ ;

Наименьшее значение функции:

$\displaystyle f(-2)=-2$