Question

1. Обчислити:
а) одним з методів інтегрування функції комплексної змінної
б) використовуючи метод інтегрування як для функції дійсної змінної

Answer 1

Ответ:

Интегралы от комплекснозначных функций:

1)

2)

$\boldsymbol{\boxed{ \int\limits_{i - 1}^{2 + i} {(3z^{2} - 2 z)} \, dz = 3 + 15i}}$

Пошаговое объяснение:

1)

$\displaystyle \int\limits_{C} {\overline{z}} \, dz = 0$

По определению $z = x + iy$, где $x,y \in \mathbb R$

По определению сопряженного числа:

$\overline{z} = \overline{x + iy} = x - iy$

Таким образом $f(z) = \overline{z} = x - iy$

Если $f(z) = u + iv$ и $f(z) \ -$ определена и непрерывна в области $D$, а $C \ -$ кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая лежащая $D$, то:

$\displaystyle \int\limits_{C}f(z)\,dz= \int\limits_{C}u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_{C}u\,dy+v\,dx$, таким образом:

$u = x$ и $v = -y$

$\displaystyle \int\limits_{C}(x - iy)\,dz= \int\limits_{C}x\,dx + y\,dy+ i \int\limits_{C}x\,dy- y\,dx$, так как контур замкнут, то данный интеграл является контурным и для его вычисления воспользуемся формулой Остроградского-Грина для интеграла:

$\displaystyle \oint\limits_{C}x\,dx + y\,dy$, пусть $P(x;y) = x$ и $Q(x;y) = y$

$\dfrac{\partial P}{\partial y} = 0$

$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = 0$

$\displaystyle \oint\limits_{C}x\,dx + y\,dy = \iint\limits_{C} (0 - 0) \ dxdy = 0$

Интеграл вида $\displaystyle i \int\limits_{C}x\,dy- y\,dx = 2i \cdot \dfrac{1}{2} \int\limits_{C}x\,dy- y\,dx = 2i \cdot \pi \cdot (1)^2} = 2 \pi i$, так как формула $\displaystyle S = \dfrac{1}{2} \oint _{L} x \ dy - y \ dx$ - площадь фигуры ограниченной кривой L.

Таким образом $\displaystyle \int\limits_{C}f(z)\,dz= 0 + 2 \pi i = 2 \pi i$

2)

$\displaystyle \int\limits_{i - 1}^{2 + i} {(3z^{2} - 2 z)} \, dz$, так как функция $f(z) = 3z^{2} - 2 z$ - аналитическая всюду, то интеграл вида $\displaystyle \int\limits_{i - 1}^{2 + i} {f(z)} \, dz = \Phi(z) \bigg |_{i - 1}^{2 + i}$, где $\Phi(z)$ - произвольная первообразная функции $f(z)$, то есть $f(z) = \Phi'(z)$, таким образом:

$\displaystyle \int\limits_{i - 1}^{2 + i} {(3z^{2} - 2 z)} \, dz = \bigg (3 \cdot \frac{z^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{z^{2}}{2} \bigg)\bigg |_{i - 1}^{2 + i} = \bigg (z^{3} + z^{2} \bigg )\bigg |_{i - 1}^{2 + i} = \bigg (z^{2}(z + 1) \bigg )\bigg |_{i - 1}^{2 + i} =$

$= (2 + i)^{2}(2 + i + 1) - (i - 1)^{2}(i - 1 + 1) = (2 + i)^{2}(3 + i) - i(i - 1)^{2}=$

$= (3 + i)(2 + i)^{2} - i(i - 1)^{2} = (3 + i)(i^{2} + 4i + 4) - (i(i^{2} - 2i + 1)) =$

$= (3 + i)(-1 + 4i + 4) - (i(-1 - 2i + 1)) =(3 + i)(3 +4i) - (-i \cdot 2i)=$

$= 9 + 12i + 3i + 4i^{2} +2i^{2}= 9 + 15i + 6i^{2} = 9 + 15i - 6 = 3 + 15i$