Докажем, что прямые перпендикулярны, если
x/-1=y+1/2=z-5/-3 и
3x+y-5z=0
2
Ответы
Направляющий вектор первой прямой получаем из её уравнений.
n1 = (-1; 2; -3).
Направляющий вектор второй прямой, заданной в общем виде как линия пересечения плоскостей 3x + y – 5z = 0 и 2x + 3y – 8z + 1 = 0, можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости P1: 3x + y - 5z = 0 нормальный вектор имеет координаты N1(3, 1, -5); для плоскости P2: 2x + 3y − 8z + 1, нормальный вектор имеет координаты N2(2, 3, −8).
Находим векторное произведение:
[N1,N2] = i j k | I j
3 1 -5 | 3 1
2 3 -8 | 2 3 = -8i – 10j + 9k + 24j + 15i – 2k =
= 7i + 14j + 7k.
Таким образом, направляющий вектор второй прямой
3x + y – 5z = 0 и 2x + 3y – 8z + 1 = 0; имеет координаты
n2 = (7; 14, 7).
Доказательством перпендикулярности прямых служит равенство нулю их скалярное произведение.
Находим его:
n1 = (-1; 2; -3).
n2 = (7; 14, 7)
n1*n2 = -1*7 + 2*14 + (-3)*7 = -7 + 28 – 21 = 0. Доказано.