Question

Развязать уравнение по ВышМат

$z^3 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$


Прикрепил ниже пример решения другого уравнения

Answer 1

Уравнение n-ой степени в комплексных числах имеет n корней.

Извлечение корня из комплексного числа:

$\sqrt[n]{z} =\sqrt[n]{|z|} \left(\cos\dfrac{\arg z+2\pi k}{n}+i\sin\dfrac{\arg z+2\pi k}{n} \right),\ k=0;\ 1;\ \ldots;\ n-1$

В частности, для кубического корня:

$\sqrt[3]{z} =\sqrt[3]{|z|} \left(\cos\dfrac{\arg z+2\pi k}{3}+i\sin\dfrac{\arg z+2\pi k}{3} \right),\ k=0;\ 1;\ 2$

Рассмотрим уравнение:

$z^3 = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Запишем число $w= \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ в тригонометрической форме.

Найдем его модуль:

$|w|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)^2 } =\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4} } =1$

Найдем его аргумент, учитывая, что действительная и мнимая части комплексного числа положительны:

$\arg w=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{\sqrt{3} }{2} :\dfrac{1}{2} \right)=\mathrm{arctg}\left(\sqrt{3} \right)=\dfrac{\pi }{3}$

Тогда:

$w=\cos\dfrac{\pi }{3} +i\sin \dfrac{\pi }{3}$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$z^3=\cos\dfrac{\pi }{3} +i\sin \dfrac{\pi }{3}$

Извлечем кубический корень:

$z_0=\cos\dfrac{\frac{\pi }{3}+2\pi\cdot 0 }{3} +i\sin \dfrac{\frac{\pi }{3}+2\pi\cdot 0 }{3}=\cos\dfrac{\pi }{9}+i\sin \dfrac{\pi }{9}$

$z_1=\cos\dfrac{\frac{\pi }{3}+2\pi\cdot 1 }{3} +i\sin \dfrac{\frac{\pi }{3}+2\pi\cdot 1 }{3}=\cos\dfrac{7\pi }{9}+i\sin \dfrac{7\pi }{9}$

$z_2=\cos\dfrac{\frac{\pi }{3}+2\pi\cdot 2 }{3} +i\sin \dfrac{\frac{\pi }{3}+2\pi\cdot 2 }{3}=\cos\dfrac{13\pi }{9}+i\sin \dfrac{13\pi }{9}$

Ответ: $\cos\dfrac{\pi }{9}+i\sin \dfrac{\pi }{9};\ \cos\dfrac{7\pi }{9}+i\sin \dfrac{7\pi }{9};\ \cos\dfrac{13\pi }{9}+i\sin \dfrac{13\pi }{9}$