Question

2^2x-12×2^x+32=0 знайдіть корені рівняння

Answer 1

Ответ:

Корни уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{x \in \bigg \{2; 3 \bigg\}}}$

Объяснение:

$2^{2x} - 12 \cdot 2^{x} + 32 = 0$

$(2^{x})^{2} - 12 \cdot 2^{x} + 32 = 0$

Так как $f(x) = 2^{x}$ - показательная функция, то по свойствам показательной функции $f(x) > 0$ при $x \in \mathbb R$.

Замена:

$2^{x} = t; t > 0$

$t^{2} - 12t + 32= 0$

$D = 144 - 4 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 = 4^{2}$

$t_{1} = \dfrac{12 + 4}{2} = \dfrac{16}{2} = 8 \Longrightarrow 2^{x} = 8 \Longleftrightarrow 2^{x} = 2^{3} \Longrightarrow \boxed{ x_{1} = 3}$

$t_{2} = \dfrac{12 - 4}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \Longrightarrow 2^{x} = 4 \Longleftrightarrow 2^{x} = 2^{2} \Longrightarrow \boxed{ x_{2} = 2}$