Question

cos²x+3sin x cos x-4sin²x=0
розв'яжіть рівняння​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x = \frac{ \pi}{4} + \pi n,n\in Z \\ \displaystyle x = - arctg \frac{1}{4} + \pi k,k\in Z$

Пошаговое объяснение:

$cos {}^{2} x + 3 sinx \cdot cosx - 4 sin {}^{2} x = 0$

Это однородное уравнение второй степени , разделим обе части уравнения на cos²x :

$\displaystyle \frac{cos {}^{2}x }{cos {}^{2} x} + \frac{3sinx \cdot cosx}{cos {}^{2}x } - \frac{4sin {}^{2} x}{cos {}^{2}x } = 0 \\ 1 + 3tgx - 4tg {}^{2} x = 0 \\ 4tg {}^{2} x - 3tgx - 1 = 0$

Заменим tgx=t , тогда получим квадратное уравнение :

$4t {}^{2} - 3t - 1 = 0$

Решим данное уравнение через дискриминант :

$D = ( - 3) {}^{2} - 4 \cdot4 \cdot( - 1) = 9 + 16 = 25 \\ t_{1,2}=\frac{-(-3)\pm \sqrt{25} }{2\cdot4}=\frac{3\pm5}{8}\\\Rightarrow t_1=1~~~~~~~~t_2=-\frac{1}{4}$

Вернемся к замене .

Первый корень :

$tgx = 1$

Согласно частному случаю тангенса :

$\displaystyle x = \frac{ \pi}{4} + \pi n,n\in Z$

Второй корень :

$\displaystyle tgx = - \frac{1}{4} \\ x = arctg \bigg( - \frac{1}{4} \bigg) + \pi k ,k\in Z$

Так как arctg нечетная функция , то минус выходит вперед :

$\displaystyle x = - arctg \frac{1}{4} + \pi k,k\in Z$