Question

Решите систему уравнений методом подстановки , ПОДРОБНО)​

Answer 1

Ответ:

Метод подстановки.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}sinx\cdot siny=\dfrac{1}{2\sqrt2}\\x-y=-\dfrac{\pi }{4}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}sinx\cdot sin\Big(x+\dfrac{\pi }{4}\Big)=\dfrac{1}{2\sqrt2}\\y=x+\dfrac{\pi }{4}\end{array}\right$

Решим отдельно 1 уравнение.

$\displaystyle sinx\cdot sin\Big(x+\dfrac{\pi }{4}\Big)=\dfrac{1}{2\sqrt2}\\\\sinx\cdot \Big(sinx\cdot cos\frac{\pi}{4}+cosx\cdot sin\frac{\pi}{4}\Big)=\frac{1}{2\sqrt2}\\\\sinx\cdot \Big(sinx\cdot \frac{\sqrt2}{2}+cosx\cdot \frac{\sqrt2}{2}\Big)=\frac{1}{2\sqrt2}\\\\\frac{\sqrt2}{2}\cdot (sin^2x+sinx\cdot cosx)=\frac{1}{2\sqrt2}\ \Big|:\frac{\sqrt2}{2}\\\\sin^2x+sinx\cdot cosx=\frac{1}{2}\\\\sin^2x+sinx\cdot cosx=\frac{1}{2}\cdot (sin^2x+cos^2x)$  

$\displaystyle sin^2x+sinx\cdot cosx-\frac{1}{2}sin^2x-\dfrac{1}{2}cos^2x=0\\\\\frac{1}{2}sin^2x+sinx\cdot cosx-\frac{1}{2}cos^2x=0\ \Big|:cos^2x\ne 0$  

Получили однородное триг-ое уравнение , которое нужно разделить на $cos^2x\ne 0$  . Получим:

$\displaystyle \frac{1}{2}\, tg^2x+tgx-\frac{1}{2}=0\ \Big|\cdot 2\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ tg^2x+2tgx-1=0$  

Теперь решаем квадратное уравнение относительно  tgx .

$\displaystyle tgx=-1\pm \sqrt{1+1}=-1\pm \sqrt2\\\\a)\ \ tg=-1-\sqrt2\ \ ,\ \ x=-arctg(1+\sqrt2)+\pi n\ ,\ n\in \mathbb{Z}\\\\y=x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}-arctg(1+\sqrt2)+\pi n\ ,\ n\in \mathbb{Z}\\\\b)\ \ tgx=-1+\sqrt2\ \ ,\ \ x=arctg(-1+\sqrt2)+\pi k\ ,\ k\in \mathbb{Z}\\\\y=x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+arctg(\sqrt2-1)+\pi k\ ,\ k\in \mathbb{Z}$  

Ответ:

 $\bf \Big(\ -arctg(\sqrt2+1)+\pi n\ ,\ \dfrac{\pi}{4}-arctg(\sqrt2+1)+\pi n\ \Big)\ ,\\\\\Big(\ arctg(\sqrt2-1)+\pi k\ ,\ \dfrac{\pi}{4}+arctg(\sqrt2-1)+\pi k\ \Big)\ ,\ n,k\in \mathbb{Z}$