Question

у"=
$\frac{2}{ \sqrt{4x + 1} }$
помогите решить эту задачу пожалуйста ​

Answer 1

$y''=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1} } =2(4x+1)^{-\frac{1}{2} }$

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка вида $y''=f(x)$, которое решается путем двукратного интегрирования правой части.

Сначала найдем первую производную, проинтегрировав правую часть соотношения, используя подведение под знак дифференциала:

$y'=\int2(4x+1)^{-\frac{1}{2} }dx=2\int(4x+1)^{-\frac{1}{2} }dx=\dfrac{1}{4}\cdot 2\int(4x+1)^{-\frac{1}{2} }d(4x)=$

$=\dfrac{1}{2}\int(4x+1)^{-\frac{1}{2} }d(4x+1)=\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{(4x+1)^{-\frac{1}{2}+1 }}{-\frac{1}{2}+1} +C_1=$

$=\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{(4x+1)^{\frac{1}{2} }}{\frac{1}{2}} +C_1=(4x+1)^{\frac{1}{2} } +C_1$

Теперь найдем саму функцию, еще раз проинтегрировав правую часть:

$y=\int\left((4x+1)^{\frac{1}{2} } +C_1\right)dx=\int(4x+1)^{\frac{1}{2} } dx+\int C_1dx=$

$=\dfrac{1}{4} \int(4x+1)^{\frac{1}{2} } d(4x)+C_1x=\dfrac{1}{4} \int(4x+1)^{\frac{1}{2} } d(4x+1)+C_1x=$

$=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{(4x+1)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} +C_1x+C_2=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{(4x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} +C_1x+C_2=$

$=\dfrac{1}{6}(4x+1)^{\frac{3}{2}} +C_1x+C_2=\dfrac{1}{6}(4x+1)\sqrt{4x+1} +C_1x+C_2$

Ответ: $y=\dfrac{1}{6}(4x+1)\sqrt{4x+1} +C_1x+C_2$