Question

lim (cos(x/2) *cos(x/4) * ... * cos (x/2^n)) ​

Answer 1

Обозначим $x/2$ за $a$ и посмотрим несколько первых членов ряда

$\cos(a)\cos(a/2) = 0.5(\cos(3a/2)+\cos(a/2))$
Домножим на следующий множитель

$\cos(a)\cos(a/2)\cos(a/4) = 0.25(\cos(7a/4)+\cos(5a/4)+\cos(3a/4)+\cos(a/4))$
Домножим на следующий множитель

$\cos(a)\cos(a/2)\cos(a/4)\cos(a/8) = 0.125(\cos(15a/8)+\cos(13a/8)+...+\cos(3a/8)+\cos(a/8))$

Видна четкая закономерность

$\displaystyle\cos(a)...\cos(a/2^n) = \frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^{2^{n}-1}\cos\left(a\frac{1+2k}{2^n}\right) \equiv S_n$
Проверка: первый косинус в сумме будет от $a/2^n$, последний от  $(2^{n+1}-1)a/2^n$, все сходится с выписанными примерами

Теперь заметим что
$\displaystyle \\S_n = \textrm{Re}\ \left[\frac{1}{2^n}\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}\exp\left(ia\frac{1+2k}{2^n}\right)\right]$
Под суммой у нас стоит геометрическая прогрессия с первым членом
$b_1 = \exp(ia/2^n)$ и знаменателем $q = \exp(ia/2^{n-1}})$
Учитывая что в этой сумме $2^n$ членов, сама сумма получается равной

$\displaystyle b_1\frac{q^{2^n} - 1}{q-1} = \exp(ia/2^n)\frac{\exp(2ia)-1}{\exp(ia/2^{n-1})-1}}=\exp(ia/2^n)\frac{\sin(a)}{\sin(a/2^n)}\exp(ia-ia/2^n) = \\=\exp(ia)\frac{\sin(a)}{\sin(a/2^n)}$
При больших n $\sin(a/2^n)\approx a/2^n$ и мы получаем

$\displaystyle \\S_n \approx \textrm{Re}\ \left[\frac{1}{2^n}\exp(ia)\frac{\sin(a)}{a/2^n}\right] = \frac{\cos(a)\sin(a)}{a} = \frac{\sin(2a)}{2a}$
Это и есть предел. Вернемся к исходной переменной и получим что предел равен
$\displaystyle \frac{\sin{x}}{x}$