Дано точки А1(x1,y1,z1) A2(x2,y2,z2), A3(x3,y2,z3), A4(x4,y4,z4), A5(x5,y5,z5).
Знайти:
1. Вектор А1А4 та його довжину.
2. проекцію вектора А4А5 на А1А2: np A1A2 A4A5.
3. Чи будуть вектори А2А і А3А5, коленіарні.
4. Чи будуть вектори А2А4 і А3А5, - ортогональні.
5. Площу трикутника А1А2А3: SкутА1А2А3.
6. Об‘єм піраміди А1А2А3А4: V A1A2A3A4.
Кординати точок: А1 (-2,1,0); А2 (1,3,0); А3 (0,1,-2); А4 (0,2,-3); А5 (0,1,0).
Ответы
Відповідь:
Первое уравнение системы – это несколько условий, соединённых конъюнкциями. Чтобы такая последовательность условий была истинной, каждое условие должно быть истинным. Заметим, что если какой-то икс оказался равен 1, то все последующие иксы тоже должны быть равны нулю, так как 1 -> 0 = 0.
Остальные уравнения имеют одинаковый вид (a ∨ b ∨ ~c) ∧ (a ∨ ~b ∨ c) ∧ (~a ∨ b ∨ c) = 1. Вновь каждая скобка должна быть истинной. Прикинем, когда так будет.
Пусть a = 1. При этом первые две скобки автоматически истинны, а третья превращается в b ∨ c, что будет истинно, если хотя бы одна из переменных b, c истинна. В этом случае есть 3 комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется (все, кроме 0, 0).
Если a = 0, то истинна третья скобка, первые две превращаются в (b ∨ ~c) ∧ (~b ∨ c). В таком выражении можно разглядеть (c -> b) ∧ (b -> c), т.е. эквиваленцию b ↔ c. Она верна, только если операнды одинаковы, тогда есть две комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется: (0, 0) и (1, 1).
Собираем вместе: решение первого уравнения – первые k иксов равны 0, оставшиеся 7 - k иксов равны 1. Все оставшиеся уравнения зависимы только через иксы, если соответствующий икс равен 0, то такое уравнение имеет 2 решения, иначе 3 решения. По правилу произведения система при фиксированном k имеет 2^k * 3^(7 - k) = 3^7 * (2/3)^k решений.
Чтобы найти общее количество решений, нужно просуммировать при k от 0 до 7. В этом поможет сумма геометрической прогрессии:
3^7 * ((2/3)^0 + (2/3)^1 + ... + (2/3)^7) = 3^7 * (1 - (2/3)^8)/(1 - 2/3) = 3^8 - 2^8 = 6305.
Покрокове пояснення: