Question

Натуральное число называется полезным , если оно не содержит в совей десятичной записи ни нулей , ни одинаковых цифр , а произведение всех цифр кратно их сумме . Найдите два наибольших последовательных полезных числа
(которые отличаются на 1 )

Answer 1

Отметим следующий факт, которые будем иметь в виду при решении:

Так как полезные числа не содержат нулей, то при прибавлении к меньшему искомому числу 1 не происходит перехода по разрядам, искомые числа отличаются только последней цифрой.

Определим, какими по длине могут быть два последовательных полезных числа.

1) Предположим, что существуют два 9-значных последовательных полезных числа. То есть, в запись меньшего их них задействованы все допустимые числа. Тогда, при прибавлении к нему 1, учитывая, что переход по разрядам невозможен, последняя цифра совпадет с какой-либо другой цифрой. Такого быть не может, значит искомые числа имеют меньше 9 разрядов.

2) Предположим, что существуют два 8-значных последовательных полезных числа. Тогда, в записи каждого из них используются все цифры от 1 до 9 кроме одной из них. Проанализируем, какие суммы цифр могут получаться  в этих случаях.

Сумма всех цифр от 1 до 9 равна 45.

Если используются все цифры, кроме 1, то сумма используемых цифры равна 44; кроме 2 - 43; и так далее; кроме 9 - 36.

Разложим эти числа на простые множители:

$44=2\cdot2\cdot11$

$43$

$42=2\cdot3\cdot7$

$41$

$40=2\cdot2\cdot2\cdot5$

$39=3\cdot13$

$38=2\cdot19$

$37$

$36=2\cdot2\cdot3\cdot3$

Заметим, что не существует двух подряд идущих чисел от 36 до 44, представление на простые множители которых состояло бы только из однозначных чисел. А поскольку по условию задачи, произведение цифр должно быть кратно сумме цифр, то сумма цифр должна раскладываться на простые однозначные множители. Как видно, для 8-значных чисел такое невозможно.

3) Попробуем найти требуемые 7-значные полезные числа. Проведя аналогичный мини-анализ, можно показать, что искомые 7-значные числа могут иметь суммы цифр 35 и 36, которые раскладываются на простые однозначные множители, поэтому 7-значные числа с этой точки рения могут существовать.

Попробуем составить искомые наибольшие числа. Выберем цифры в порядке убывания, начиная с наибольшей, до тех пор, пока сумма цифр не станет больше 35:

9 8 7 6 5 4 3 - сумма 42, больше требуемой на 7

Так как 35=5*7, то цифры 5 и 7 должны остаться в списке. Скорее всего, нужно оставить и цифры 9 и 8, так как за счет их использования в начале числа можно гарантировать его максимальность.

Остаются цифры 6 4 3, которые в сумме нужно уменьшить на 7.

Заметим, что уменьшение только цифр 4 и 3 не даст требуемой суммы, поэтому цифра 6 должна обязательно участвовать в уменьшении. Сразу уменьшим ее на 4, чтобы получить новую уникальную цифру.

Итак, в рассмотрении получились цифры 4 3 2, которые в сумме можно уменьшить на 3. Нетрудно понять, что сделать это можно только уменьшением каждой из них на 1.

Итоговый набор цифр:

9 8 7 5 3 2 1

Из этих цифр нужно сложить наименьшее из двух искомых чисел. После прибавления к нему 1 число должно оставаться полезным.

Очевидно, что вариант 9875321 не подходит, так как 9875322 не полезное число в силу повторения цифр.

Тогда, из тех же цифр составляем другие числа, меньше только что рассмотренного, но максимальные из еще нерассмотренных.

Меняем цифру в разряде десятков. Следующее число 9875312 не подходит по тем же причинам.

Меняем цифру в разряде сотен. Следующее число 9875231 не подходит. А вот следующее число 9875213 подходит, после прибавления к нему 1 получим число 9875214 - также полезное.

Таким образом, два наибольших последовательных полезных числа - это числа 9875213 и 9875214.

Ответ: 9 875 213 и 9 875 214