Question

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння, який задовольняє дані початкові умови ​

Answer 1

Решение.

  $\bf (x+y^2)\, dy=y\, dx\ \ ,\ \ \ y(0)=1$  

$\bf x\, dy+y^2\, dy=y\, dx\ \Big|:dy\\\\x+y^2=y\cdot \dfrac{dx}{dy}\\\\yx'=x+y^2\ \Big|:y\ne 0\\\\x'-\dfrac{x}{y}=y$

Получили ЛНДУ 1 пор. относительно  переменной  х  (а не у, как привычно) .

Замена:   $\bf x=uv\ \ ,\ \ x'=u'v+uv'\ \ ,\ \ \ u=u(y)\ ,\ v=v(y)$  .

$\bf u'v+uv'-\dfrac{uv}{y}=y\ \ \to \ \ \ u'v+u\cdot (\underbrace{\bf v'-\dfrac{v}{y}}_{=\, 0})=y\\\\\displaystyle a)\ \ v'-\dfrac{v}{y}=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dy}=\dfrac{v}{y}\ \ ,\ \ \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dy}{y}\ \ ,\ \ ln|v|=ln|y|\ \ ,\\\\v=y\\\\b)\ \ u'v=y\ \ \to \ \ \ \frac{du}{dy}\cdot y=y\ \ ,\ \ \int du=\int dy\ \ ,\ \ u=y+C\ \ ,\\\\\\c)\ \ x=uv=y(y+C)\ \ ,\ \ \ \boxed{\bf \ x=y^2+Cy\ }$  

Общий интеграл записан в рамке .  

d) Найдём частное решение, соответствующее начальным условиям.

$\bf x=y^2+Cy\ \ ,\ \ y(0)=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=0\ ,\ y(0)=1\\\\0=1^2+C\cdot 1\ \ \to \ \ \ 1+C=0\ \ ,\ \ C=-1\\\\\boxed{\ \bf x=y^2- y\ }$