Question

2sin²x-5sinxcosx=cos²x-2​

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

Рассмотрим уравнение:

$2\sin^2x-5\sin x\cos x=\cos^2x-2$

$2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x+2=0$

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, запишем:

$2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x+2(\sin^2x+\cos^2x)=0$

$2\sin^2x-5\sin x\cos x-\cos^2x+2\sin^2x+2\cos^2x=0$

$4\sin^2x-5\sin x\cos x+\cos^2x=0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x\neq 0$:

$\dfrac{4\sin^2x}{\cos^2x} -\dfrac{5\sin x\cos x}{\cos^2x} +\dfrac{\cos^2x}{\cos^2x}=0$

$4\,\mathrm{tg}^2\,x -5\,\mathrm{tg}\,x+1=0$

Решим квадратное уравнение относительно тангенса. Так как сумма коэффициентов уравнения равна 0, то первый корень уравнения равен 1, а второй равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту:

$\mathrm{tg}\,x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\mathrm{tg}\,x=\dfrac{1}{4} \Rightarrow x=\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi }{4} +\pi n;\ \mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$