Question

Петя разделил круг тремя прямыми на 7 частей и написал в них 7 различных целых чисел так, что суммы чисел, стоящих по одну и по другую сторону от каждой из прямых, были одинаковы. Одно из чисел равно нулю. Докажите, что какое-то число отрицательно.

Answer 1

Ответ:

Отборочный этап прошел, можно ответить.

Обозначим части, как на рисунке, кстати это ответ для младших классов.

Теперь рассмотрим части

356 и 1247 соответственно. Сумма у них должна быть одинакова. Так и запишем

a3+(a5+a6)=a1+a2+(a4+a7)

a1+a2-a3=(a5+a6)-(a4+a7)

Теперь рассмотрим 1256 и 347

a1+a2+(a5+a6)=a3+(a4+a7)

a1+a2-a3=(a4+a7)-(a5+a6)

В правой части одно и то же, а в левой противоположные по знаку числа. Как такое может быть? Только если это 0!!!!!

Итого a1+a2-a3=0

Теперь надо сказать что может быть 3 вида частей. Серединка (1), за серединкой (2) и одинарное (3). А так как мы выбрали произвольные a1, a2, a3 это касается всех частей этого круга.

Пусть a1=0, тогда a2=a3 - не может быть по условию, потому серединка не может быть 0.

Пусть a2=0, тогда a1=a3, что тоже не по условию.

Остается только a3=0 (ноль может стоить только в таком расположении части), но тогда a1=-a2 - это разные числа, они различны по знаку. Т.е. без отрицательных не обойтись.

ЧТД.

Пошаговое объяснение: