Question

Посчитать интегралы по области .

Answer 1

Ответ:

Вычислить двойной интеграл по области .

$\displaystyle 1)\ \ D:\ \{\ y=4-x^2\ ,\ y=0\ \}\\\\\iint \limits _{D}xy\, dx\, dy=\int \limits_{-2}^2x\, dx\int\limits_{0}^{4-x^2}y\, dy=\int \limits_{-2}^2x\, dx\Big(\frac{y^2}{2}\Big|_{0}^{4-x^2}\ \Big)=\int \limits_{-2}^2x\, dx\Big(\frac{(4-x)^2}{2}\Big)=\\\\\\=\int \limits_{-2}^2\Big(\frac{x\cdot (4-x)^2}{2}\Big)\, dx=\frac{1}{2}\int \limits_{-2}^2\Big(16x-8x^2+x^3\Big)\, dx=\frac{1}{2}\Big(8x^2-\frac{8}{3}\, x^3}+\frac{x^4}{4}\Big)\Big|_{-2}^2=$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\Big(32-\frac{64}{3}+4-32-\frac{64}{3}-4\Big)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{128}{3}=\bf -21\frac{1}{3}$  

$\displaystyle 2)\ \ D:\{\ x=1\ ,\ x=2\ ,\ y=0\ ,\ y=\frac{1}{x}\ \}\\\\\\\iint \limits _{D}x^2y\, dx\, dy=\int\limits_1^2 x^2\, dx\int\limits_0^{\frac{1}{x}}\, y\, dy=\int\limits_1^2 x^2\, dx\Big(\frac{y^2}{2}\Big|_0^{\frac{1}{x}}\Big)=\\\\\\=\int\limits_1^2 x^2\, dx\Big(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x}\Big)=\frac{1}{2}\int\limits_1^2 x\, dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^2=\frac{1}{4}\cdot (4-0)=\bf 1$