Question

решите пожалуйста
1) 4x-y+z=15 - методом Крамера

x+y+z=8 - методом Крамера

2x-y+3z=17 - методом Крамера

2)

-2x-3y+z=5 методом Гаусса

x+y+z=3 методом Гаусса

-x-2y+z=2 методом Гаусса

Answer 1

1) Ответ: (3; 1; 4)

Пошаговое решение: составим основную матрицу и найдем определитель

$\Delta =\left[\begin{array}{ccc}4&-1&1\\1&1&1\\2&-1&3\end{array}\right] =4*1*3+1*1*(-1)+2*(-1)*1-$

$-(2*1*1+1*(-1)*3+4*(-1)*1)=12-1-2-(2-3-4)=9-(-5)=9+5=14$

Δ ≠ 0, поэтому система имеет единственное решение. Теперь найдем вспомогательные определители путем замены столбец основной матрицы на вектор свободных членов:

$B=\left[\begin{array}{ccc}15\\8\\17\end{array}\right]$

$\Delta_{1} =\left[\begin{array}{ccc}15&-1&1\\8&1&1\\17&-1&3\end{array}\right] =15*1*3+8*1*(-1)+17*(-1)*1-$

$-(17*1*1+8*(-1)*3+15*(-1)*1)=45-8-17-(17-24-15)=$

$=20-(-22)=20+22=42$

$\Delta_{2} =\left[\begin{array}{ccc}4&15&1\\1&8&1\\2&17&3\end{array}\right] =4*8*3+1*17*1+2*15*1-$

$-(2*8*1+1*15*3+4*17*1)=96+17+30-(16+45+68)=143-129=14$

$\Delta_{3} =\left[\begin{array}{ccc}4&-1&15\\1&1&8\\2&-1&17\end{array}\right] =4*1*17+1*15*(-1)+2*(-1)*8-$

$-(2*1*15+1*(-1)*17+4*(-1)*8)=68-15-16-(30-17-32)=$

$=37-(-19)=37+19=56$

Неизвестные x, y и z находятся как:

$x=\frac{\Delta_{1} }{\Delta}$          $y=\frac{\Delta_{2} }{\Delta}$          $z=\frac{\Delta_{3} }{\Delta}$

Найдем их:

$x=\frac{42}{14} =3$

$y=\frac{14}{14} =1$

$z=\frac{56}{14} =4$

2) Ответ: (-10; 7; 6)

Пошаговое решение: составим расширенную матрицу:

$\left[\begin{array}{ccccc}-2&-3&1&|&5\\1&1&1&|&3\\-1&-2&1&|&2\end{array}\right]$

Теперь эту матрицу приведем к такому виду, чтобы числа под главной диагональю были равны 0. Для начала, (1) строку умножаем на -1 и отнимаем (2) строку и запишем вместо (1) строки, для удобства. От (2) строки отнимаем (1) и результат запишем вместо (2) строки. (1) и (3) строки добавляем и результат пишем вместо (3) строки:

$\left[\begin{array}{ccccc}-2&-3&1&|&5\\1&1&1&|&3\\-1&-2&1&|&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-2&|&-8\\1&1&1&|&3\\-1&-2&1&|&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-2&|&-8\\0&-1&3&|&11\\0&0&-1&|&-6\end{array}\right]=$

(2) и (3) строки умножаем на -1. Ко (2) добавляем (3), затем от (1) отнимаем (2):

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-2&|&-8\\0&1&-3&|&-11\\0&0&1&|&6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-2&|&-8\\0&1&-2&|&-5\\0&0&1&|&6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&0&|&-3\\0&1&-2&|&-5\\0&0&1&|&6\end{array}\right]=$

И опять, ко (2) добавляем (3), затем от (1) отнимаем (2):

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&1&0&|&-3\\0&1&-1&|&1\\0&0&1&|&6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1&0&1&|&-4\\0&1&-1&|&1\\0&0&1&|&6\end{array}\right]$

Ранг основной матрицы равняется рангу расширенной матрицы, значит эта система имеет решение.

Идем от обратного, находя неизвестные. Найдем через третью строку неизвестную z:

$0*x+0*y+z=6$

$z=6$

Подставляем значение z ко второй строке и найдем y:

$0*x+y-1*6=1$

$y-6=1$

$y=1+6$

$y=7$

Значения y и z подставляем к первой строке и находим x:

$x+0*7+6=-4$

$x=-4-6$

$x=-10$

x, y, z = (-10; 7; 6)