Question

Даю 50 баллов за верно решенное задание.
Найдите количество целых чисел из множества значений функции (на фото):

Answer 1

Ответ:

Преобразуем выражение сначала .

$y=(1+cos2x)^2+\dfrac{(sinx-cosx)(sinx+cosx)}{cos2x}+sin^22x\ \ ,\ \ ODZ:cos2x\ne 0\\\\\\y=1+2cos2x+cos^22x+\dfrac{sin^2x-cos^2x}{cos2x} +sin^2x\\\\y=1+2cos2x+(\underbrace{cos^22x+sin^22x}_{1})+\dfrac{-cos2x}{cos2x}\\\\y=1+2cos2x+1-1\\\\\boldsymbol{y=1+2cos2x}\ \ ,\ \ ODZ:cos2x\ne 0\ ,\ 2x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ \boldsymbol{x\ne \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z}$  

Так как  $-1\leq cos2x\leq 1$  , то  $-2\leq 2cos2x\leq 2$  и  $-1\leq 1+2cos2x\leq 3$

Область значений функции  $\boldsymbol{E(y)=[-1\ ;\ 3\ ]}$  .

Целые значения из этого сегмента:  -1 , 0 , 1 , 2 , 3 .

Но значение функции  $y(x)=1$  достигается при $cos2x=0$  ,  то есть при  $x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\in Z$ . А эти значения переменной  х  не входят в ОДЗ , поэтому  значение функции  у=1 надо исключить .

Значит количество целых значений функции равно 4 , это -1 , 0 , 2 , 3 .