Question

Привести подробное решение данного уравнения.
Предполагаю, что ответ будет 7+4$\sqrt{3}$ (приблизительно 13,9282...)

Answer 1

Ответ:

$7+4\sqrt{3}.$

Пошаговое объяснение:

$\log_x(2+\sqrt{3})=\log_{x+6}(1+2\sqrt{3}).$ ОДЗ: x>0; x≠1.

$2\log_x(2+\sqrt{3})=2\log_{x+6}(1+2\sqrt{3});\ \log_x(2+\sqrt{3})^2=\log_{x+6}(1+2\sqrt{3})^2;$

$\log_x(7+4\sqrt{3})=\log_{x+6}(13+4\sqrt{3});\ \log_x(7+4\sqrt{3})=\log_{x+6}\left((7+4\sqrt{3})+6\right);$

решение $x=7+4\sqrt{3}$  очевидно; докажем, что других решений нет. Обозначим для простоты

             $7+4\sqrt{3}=a > 1; 6=b > 0;\ \log_xa=\log_{x+b}(a+b);$

$\dfrac{1}{\log_ax}=\dfrac{1}{\log_{a+b}(x+b)};\ \log_ax=\log_{a+b}(x+b).$

Рассмотрим функцию $y=\log_ax-\log_{a+b}(x+b)$ и докажем её монотонность:    

$y'=\dfrac{1}{x\ln a}-\dfrac{1}{(x+b)\ln(a+b)}=\dfrac{(x+b)\ln(a+b)-x\ln a}{x(x+b)\ln a\ln(a+b)}.$

Поскольку a+b>a>1⇒ ln(a+b)>ln a>0. Кроме того, x+b>x>0, поэтому

(x+b)ln(a+b)-xln a>0⇒ $y' > 0\Rightarrow$ монотонность доказана. Поэтому найденное решение единственное.