Question

Помогите пожалуйста, как это решить.

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x+3 при x ∈ (-∞; -1), y=x²+1 при x ∈ (-1; +∞), х=0, х=(-2) и у=0 равна 17/6 единиц квадратных.

Пошаговое объяснение:

Для начала нам нужно построить график. Имеем y=x+3, если x<(-1), тогда на промежутке x ∈ (-∞; -1) мы чертим график функции y=x+3; а ещё y=x²+1, если x>(-1), значит, на промежутке x ∈ (-1; +∞) мы чертим график ф-ции y=x²+1.

Файл прикреплён.

Нам нужно найти площадь заштрихованной фигуры. Предлагаю разделить нахождение этой площади на три части.

1) Находим площадь этой фигуры на промежутке (-2; -1), она будет равна значению определённого интеграла ф-ции у=х+3 от (-2) до (-1).

$\displaystyle S_1=\int\limits^{-1}_{-2} {(x+3)} \, dx = \Big(\frac{x^2}{2}+3x\Big)\ \Bigg|^{-1}_{-2} = \frac{(-1)^2}{2}+3\cdot(-1) - \Big( \frac{(-2)^2}{2}+3\cdot\\\\ \cdot(-2)\Big) =\frac{1}{2}+(-3)- \Big( \frac{4}{2}+(-6)\Big) = \frac{1}{2} -3-2+6 = 6,5-5=1\!,5\ \text{ed}^2$

2) Находим площадь этой фигуры на промежутке (-1; 0), она будет равна значению определённого интеграла ф-ции у=х²+1 от (-1) до 0.

$\displaystyle S_2=\int\limits^0_{-1} {(x^2+1)} \, dx = \Big(\frac{x^3}{3} +x\Big)\ \Bigg|\limits^0_{-1} = \frac{0^3}{3}+0 - \Big( \frac{(-1)^3}{3}+(-1)\Big) = 0- \\\\ -\Big(-\frac{1}{3} -1\Big) = 0+\frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}\ \text{ed}^2$

3) Находим сумму получившихся значений. Результат и будет площадью искомой фигуры.

$\displaystyle S=S_1+S_2=1,\!5+\frac{4}{3} = \frac{9}{6}+\frac{8}{6} = \frac{17}{6} \ \text{ed}^2$

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x+3 при x ∈ (-∞; -1), y=x²+1 при x ∈ (-1; +∞), х=0, х=(-2) и у=0 равна 17/6 единиц квадратных.