Question

знайти площу фігури обмежену графіком y=x², y=2-x²
​

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x², y=2-x² равна 8/3 единиц квадратных.

Пошаговое объяснение:

Найдём точки пересечения графиков функций y=x² и y=2-x², тем самым найдём пределы интегрирования.

$\displaystyle \left \{ {{y=x^2\ \ \ \ \ } \atop {y=2-x^2}} \right. \\\\ x^2=2-x^2\\\\ x^2+x^2= 2\\\\ x^2=1 \\\\ x=\pm\sqrt{1} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x_1=1, \ x_2=(-1)$

Чертим рисунок. Ниже прикрепляю файл. Нам необходимо найти площадь фигуры, закрашенной зелёным цветом. Чтобы это сделать, предлагаю для начала найти площадь всей закрашенной фигуры и потом отнять от получившейся площади площадь фигуры, закрашенной фиолетовым.

$\displaystyle S_o=\int\limits^1_{-1} {(2-x^2)} \, dx = \Big(2x-\frac{x^{2+1}}{2+1} \Big)\ \Bigg|^1_{-1} = \Big(2x-\frac{x^{3}}{3} \Big)\ \Bigg|^1_{-1} = 2\cdot 1-\frac{1^2}{3}-\\\\-\Big( 2\cdot(-1) - \frac{(-1)^3}{3}\Big)=\frac{6}{3}-\frac{1}{3} - \Big(-2+\frac{1}{3}\Big) = \frac{5}{3} + \frac{6}{3} -\frac{1}{3} = \frac{10}{3}\ \text{ed}^2$

$\displaystyle S_a=\int\limits^1_{-1} {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3}\ \Bigg|^1_{-1} = \frac{1^3}{3}-\Big(\frac{(-1)^3}{3} \Big) = \frac{1}{3}-\Big(-\frac{1}{3} \Big)= \frac{2}{3} \ \text{ed}^2$

*S₀ - площадь всей закрашенной фигуры (зелёным и фиолетовым), Sₐ - площадь фигуры, закрашенной фиолетовым цветом.

Мы имеем общую площадь закрашенной фигуры и площадь фигуры, закрашенной фиолетовым. Тогда их разность - искомая площадь фигуры, закрашенной зелёным, фигуры, ограниченной графиками функций y=x², y=2-x².

$\displaystyle S= S_0-S_a= \frac{10}{3} -\frac{2}{3}=\frac{8}{3} \ \text{ed}^2$

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x², y=2-x² равна 8/3 единиц квадратных.