Question

Найти общее решение дифференциального уравнения y''=x+2

Answer 1

Ответ:

$y=\frac{x^{3} }{6} +x^{2} +C_{1}x+C_{2}$

Пошаговое объяснение: имеем дело с дифференциальным уравнением, допускающего понижение порядка.

$y''=x+2$

Понижаем степень уравнения до первого порядка, т.е. интегрируем правую часть один раз:

$y'=\int\limits {(x+2)} \, dx =\frac{x^{1+1} }{1+1} +2x+C_{1} =\frac{x^{2} }{2} +2x+C_{1}$.

Теперь интегрируем правую часть во второй раз, тем самым, получая общее решение:

$y=\int\limits {(\frac{x^{2} }{2} +2x+C_{1})} \, dx =\frac{x^{2+1} }{2*(2+1)} +2\frac{x^{1+1} }{1+1} +C_{1}x+C_{2} =\frac{x^{3} }{2*3} +2\frac{x^{2} }{2} +C_{1}x+C_{2} =$

$=\frac{x^{3} }{6} +x^{2} +C_{1}x+C_{2}$.

Общее решение дифференциального уравнения y'' = x + 2:

$y=\frac{x^{3} }{6} +x^{2} +C_{1}x+C_{2}$, где С₁ и С₂ - const.