Question

Плоскость α задана уравнением. Найдите неизвестные коэффициенты уравнения плоскости β, если известно, что она проходит через точку М параллельно плоскости α.

Answer 1

Ответ:

Заданы две плоскости   $\boldsymbol{\alpha :\ \ 3x+4y-5z+7=0}$  и  

$\boldsymbol{\beta :\ 6x+By+Cz+D=0}$  , точка  $\boldsymbol{M(1;1;-1)\in \beta \ \ ,\ \ \beta \parallel \alpha }$  .

  Если плоскости параллельны, то у них нормальные векторы совпадают, либо коллинеарны .

$\boldsymbol{\vec{n}_{\alpha }=(3;4;-5)\ \ \ \Rightarrow \ \ \ A=3\ ,\ B=4\ ,\ C=-5}$

Так как у плоскости  β  абсцисса нормального вектора 6 , а у нормального вектора плоскости  α абсцисса равна 3, то нормальный вектор плоскости  β  коллинеарен нормальному вектору плоскости  α  с коэффициентом пропорциональности  k=2 .

Поэтому координаты нормального вектора плоскости  β :

$\boldsymbol{\boldsymbol{\vec{n}_{\beta }=2\cdot \vec{n}_{\alpha }=(2\cdot 3\ ;\ 2\cdot4\ ;\ 2\cdot (-5))=(\ 6\ ;\ 8\ -10\ )\ \ \Rightarrow }}$

$\boldsymbol{A=6\ ,\ B=8\ ,\ C=-10}}\\\\\boldsymbol{\beta :\ 6x+8y-10z+D=0}$  

Подставим координаты точки М в уравнение плоскости  β .

$\boldsymbol{6\cdot 1+4\cdot 1-5\cdot (-1)+D=0\ \ \Rightarrow \ \ \ 15+D=0\ \ ,\ \ D=-15}$

Ответ:  $\boldsymbol{B=8\ ,\ C=-10\ ,\ D=-15}$  .