Question

Найдите определенный интеграл

Answer 1

Ответ:

Найдём сначала неопределённый интеграл . Применяем тригонометрическую подстановку .

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx=\Big[\ x=\dfrac{1}{cost}\ ,\ dx=\frac{sint}{cos^2t}\, dt\ ,\ \sqrt{x^2-1}=\sqrt{\dfrac{1}{cos^2t}-1}=\\\\\\=\sqrt{tg^2t}=tgt\ ,\ t=arccos\frac{1}{x}\ \Big]=\int \frac{tgt}{\frac{1}{cos^4t}}\cdot \frac{sint}{cos^2t}\, dt=\\\\\\=\int \frac{sint\cdot cos^4t}{cost}\cdot \frac{sint}{cos^2t}\, dt=\int sin^2t\cdot cost\, dt=\frac{sin^3t}{3}+C=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot sin^3\Big(arccos\frac{1}{x}\Big)+C\ ;$

$\displaystyle \int \limits_1^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3}\, dx=\frac{1}{3}\, sin^3\Big(arccos\frac{1}{x}\Big)\, \Big|_1^2=\frac{1}{3}\cdot \Big(sin^3(arccos1)-sin^3(arccos\frac{1}{2})\Big)=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot \Big(sin^30-sin^3\frac{\pi }{3}\Big)=\frac{1}{3}\cdot \Big(0-\Big(\frac{\sqrt3}{2}\Big)^3\Big)=-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt3}{8}=\bf -\frac{\sqrt3}{8}$