Question

Если $a-8=\sqrt{\dfrac{24}{a} }$ , то найдите $a-\sqrt{6a}$

Answer 1

Ответ:

2.

Объяснение:

Обозначим $\sqrt{a}=t > 0.$ По условию $t^3-8t-2\sqrt{6}=0;$

замена $t=p\sqrt{6};$ получаем уравнение $6p^3\sqrt{6}-8p\sqrt{6}-2\sqrt{6}=0;$

$3p^3-4p-1=0;$ угадываем решение $p=-1.$ Теорема Безу (точнее, следствие из теоремы Безу) гарантирует разложение

$3p^3-4p-1=(p+1)f(p).$ Многочлен f(p) может быть найден делением столбиком или угадан. Очевидна степень f(p) - два, старший коэффициент равен 3, свободный член равен минус 1; остается найти коэффициент при первой степени:

$(p+1)(3p^2+bp-1)=3p^3+(3+b)p^2+(b-1)p-1=3p^3-4p-1\Rightarrow b=-3.$

Итак, $(p+1)(3p^2-3p-1)=0; p=-1 < 0$  или

$3p^2-3p-1=0\Rightarrow 3p^2-3p=1; \ \dfrac{3t^2}{6}-\dfrac{3t}{\sqrt{6}}=1; t^2-t\sqrt{6}=2;\ a-\sqrt{6a}=2.$