Question

8.
Розв'яжіть
logx (2x + 3) ≥ 2.
нерівність
у
відповідь запишіть кількість цілих
розв’язків цієї нерівності на проміжку
[-3;2]

Answer 1

Ответ:

$log_{x}(2x+3)\geq 2\ \ , \ \ \ ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}x > 0\\x\ne 1\\2x+3 > 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}x > 0\\x\ne 1\\x > -1,5\end{array}\right\ \ \Rightarrow \\\\x\in (\ 0\ ,\ 1\ )\cup (\ 1\ ;+\infty )\\\\\dfrac{lg(2x+3)}{lgx}\geq 2\ \ ,\ \ lg(2x+3)\geq 2\cdot lgx\ \ ,\ \ lg(2x+3)\geq lgx^2$

Так как функция  $y=lgx$ возрастающая ( основание 10>1) , то верно

неравенство

$2x+3\geq x^2\ \ ,\ \ \ x^2-2x-3\leq 0\\\\x^2-2x-3=0\ \ \to \ \ x_1=-1\ ,\ x_2=3\ \ (teorema\ Vieta)\ \ \Rightarrow \\\\(x+1)(x-3)\leq 0\ \ ,\ \ \ +++[-1\ ]---[\ 3\ ]+++\ \ ,\ \ \ x\in [-1\ ;\ 3\ ]\\\\\left\{\begin{array}{l}x\in (\ 0\ ;\ 1\ )\cup (\ 1\ ;+\infty \, )\\x\in [-1\ ;\ 3\ ]\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \bf x\in (\ 0\ ;\ 1\ )\cup (\ 1\ ;\ 3\ ]\ -\ otvet$  

Количество целых решений заданного неравенства равно двум, так как это х=2 и х=3 .

На промежутке [-3 ; 2 ] количество целых решений неравенства равно одному, это число х=2 , так как все остальные целые числа, входящие в этот промежуток (х= -3, -2 ,-1 ,0 ,1 ) , не совпадают с целыми решениями заданного неравенства .