Question

даю 20 баллов
напишите так же как вы это решали (если что язык украинский, если придется перевести)
знайдіть відстань від точки m0 (-4; -13; 6) до площини що проходіть через три точки m1 (0; -1; -1) m2(-2; 3; 5) m3(1; -5; -9)

Answer 1

Ответ:

Расстояние от точки М₀ (-4; -13; 6) до плоскости, которая проходит через три точки М₁ (0; -1; -1), М₂ (-2; 3; 5), М₃ (1; -5; -9) равно 6√5 ед.

Пошаговое объяснение:

Найдите расстояние от точки М₀ (-4; -13; 6) до плоскости, которая проходит через три точки М₁ (0; -1; -1), М₂ (-2; 3; 5), М₃ (1; -5; -9).

Сначала составим уравнение плоскости, проходящей через три точки.

• Общее уравнение плоскости имеет вид:
• $\boxed {\displaystyle \bf Ax+By+Cz+D=0 }$

Если точка принадлежит плоскости, то, подставив ее координаты в уравнение плоскости, получим верное равенство.

Подставим координаты данных точек в уравнение плоскости и решим систему из трех уравнений.

$\displaystyle \bf \begin{equation*} \begin{cases} A\cdot0+B\cdot(-1)+C\cdot(-1)+D=0 \\ A\cdot(-2)+B\cdot3+C\cdot5+D=0 \\ A\cdot1+B\cdot(-5)+C\cdot(-9)+D=0 \end{cases}\end{equation*}$

$\displaystyle \bf \begin{equation*} \begin{cases} -B-C+D=0 \\ -2A+3B+5C+D=0 \\ A-5B-9C+D=0 \end{cases}\end{equation*}$

Из первого уравнения выразим D  и подставим во второе и третье:

D = B + C

$\displaystyle \bf \begin{equation*} \begin{cases} -2A+3B+5C+B+C=0 \\ A-5B-9C+B+C=0 \end{cases}\end{equation*}$

$\displaystyle \bf + \begin{equation*} \begin{cases} -2A+4B+6C=0 \\ A-4B-8C=0 \end{cases}\end{equation*}\\-----------------------------------------$

       $\displaystyle -A-2C=0$

$\displaystyle A=-2C\\\\4C+4B+6C=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;B=-\frac{5}{2}C\\ \\D=-\frac{5}{2}C+C \;\;\;\Rightarrow \;\;\;D=-\frac{3}{2}C$

Подставим найденные значения в уравнение плоскости:

$\displaystyle -2Cx-\frac{5}{2}Cy +Cz-\frac{3}{2}C=0\;\;\;|:C,\;C\neq 0\\ \\-2x-\frac{5}{2}y+z-\frac{3}{2}=0\;\;\;|\cdot 2\\\\\\\boxed { -4x-5y+2z -3=0}$

Теперь можем найти расстояние от точки М₀ (-4; -13; 6) до плоскости по формуле:

• $\boxed {\displaystyle d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{ \sqrt{A^2+B^2+C^2}} }$

$\displaystyle d=\frac{|-4\cdot(-4)-5\cdot(-13)+2\cdot6-3|}{ \sqrt{16+25+4}}=\\\\=\frac{|16+65+12-3|}{\sqrt{45} } =\frac{90}{3\sqrt{5} } =\frac{30\sqrt{5} }{5}=6\sqrt{5}$

Расстояние от точки М₀ (-4; -13; 6) до плоскости, которая проходит через три точки М₁ (0; -1; -1), М₂ (-2; 3; 5), М₃ (1; -5; -9) равно 6√5 ед.