Question

Помогите пожалуйста решить​

Answer 1

Ответ:

Предела не существует

Объяснение:

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{nt}{1+n^2t^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{t}{1/n+nt^2}=0$

Значит, если предел в метрическом пространстве $C[-1;0]$ и существует, он равен 0.

Рассмотрим выражение $a=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{-1\leq t\leq 0}\left|x_n(t)-0\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{-1\leq t\leq 0}\left|\dfrac{nt}{1+n^2t^2}\right|$ и покажем, что оно не равно нулю.

$(x_n(t))'_t=\dfrac{n\cdot(1+n^2t^2)-nt\cdot 2n^2t }{(1+n^2t^2)^2}=\dfrac{n-n^3t^2 }{(1+n^2t^2)^2}$
Критические точки производной удовлетворяют условию $n-n^3t^2=0\Leftrightarrow t=\pm\dfrac{1}{n}$

Т.к. $t\in[-1;0]$, рассмотрим точку $t=-\dfrac{1}{n}$:

$x_n\left(-\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{-1}{1+1}=-\dfrac{1}{2}$

Но тогда $\sup\limits_{-1\leq t\leq 0}\left|\dfrac{nt}{1+n^2t^2}\right|\geq \left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$, а значит $a\neq 0$.

Поэтому данная последовательность в метрическом пространстве $C[-1;0]$ предела не имеет.