Предмет: Алгебра, автор: FaerVator

Задание для хорошо объясняющих.
С подробным объяснением решите неравенство методом интервалов: (х+2)²(х²-7х+6)>=0
В объяснении указать :
1)Как определить знаки промежутков?
2)Почему соседние промежутки у корня(-2) данного неравенства должны иметь одинаковые знаки?
Обязательно с интервалом!!!​

Ответы

Автор ответа: NNNLLL54
2

Ответ:

Неравенство   \bf (x+2)^2(x^2-7x+6)\geq 0  решаем методом интервалов .

Cначала нужно разложить функцию, записанную в левой части неравенства , до конца .

Первый множитель уже готов . А второй множитель - квадратный трёхчлен, корни которого легко находятся по теореме Виета .

x^2-7x+6=0\ \ \Rightarrow \ \ \ x_1=1\ ,\ x_2=6\ \ (teorema\ Vieta)  

Так как знаем корни кв. тр-на, то можно написать разложение его на множители .

x^2-7x+6=(x-1)(x-6)  

Тогда заданное неравенство имеет окончательный вид :

\bf (x+2)^2(x-1)(x-6)\geq 0  .

1)  Нули функции   f(x)=(x+2)^2(x-1)(x-6)   равны :  \bf x_1=1\ ,\ x_2=6 ,

\bf x_3=-2  . Эти точки делят числовую ось на 4 промежутка . На них функция не меняет знак .

_________[-2 ] ________[ 1 ]___________[ 6 ]___________

Вычисляем знаки фунции  f(x) , подставляя вместо переменной  х  какое-либо значение из исследуемого промежутка .

Например,  

x=100\in (\, 6\ ;+\infty \, )\ \ ,\ \ f(100)=\underbrace{(100+2)^2}_{\geq 0}(\underbrace{100-1}_{ > 0})(\underbrace{100-6}_{ > 0})\geq 0  

В этом промежутке ставим знак плюс .

x=4\in (\ 1\ ;\ 6\ )\ ,\ f(4)=\underbrace{(4+2)^2}_{\geq 0}(\underbrace{4-1}_{ > 0})(\underbrace{4-6}_{ < 0})\leq 0  

Ставим знак минус .

x=0\in (-2\ ;\ 1\ )\ ,\ f(0)=\underbrace{(0+2)^2}_{\geq 0}(\underbrace{0-1}_{ < 0})(\underbrace{0-6}_{ < 0})\geq 0  

Ставим знак плюс .

x=-10\in (-\infty ;-2\ )\ ,\ f(-10)=\underbrace{(-10+2)^2}_{\geq 0}(\underbrace{-10-1}_{ < 0})(\underbrace{-10-6}_{ < 0})\geq 0  

Ставим знак плюс .

Получили такую картинку:

\bf +++[-2\ ]+++[\ 1\ ]---[\ 6\ ]+++

Задано неравенство со знаком  ≥  , поэтому выбираем промежутки, где записан знак плюс, причём граничные точки включаем в ответ, так как знак неравенства нестрогий .

  \bf x\in (-\infty ;2\ ]\cup [\ 2\ ;\ 1\ ]\cup [\ 6\ ;+\infty \, )   или , учитывая, что х=2 входит в оба промежутка , можно записать короче .

Ответ:  \boldsymbol{x\in (-\infty \, ;\ 1\ ]\cup [\ 6\ ;+\infty \, )}  .

2) Когда считаешь знаки таким явным способом, то ошибки произойти не может (если правильно считаешь, причём сами числа в скобках вычислять не требуется, только знак нужен) . И при переходе через какую точку знак меняется или нет особо задумываться не надо .

А если пользоваться правилом, что знаки, начиная с крайнего правого интервала чередуются, считая от знака + , то ошибиться можно . Так как для чередования нужно, чтобы все скобки стояли в первой или нечётной степени . А если попадается скобка в чётной степени, как в этом примере  (x+2)^2 , то чередования знаков не происходит . Ещё важен момент, что в скобках  разность должна начинаться  с переменной  х . То есть скобки должны иметь вид (х-5) , а не (5-х) .

Например,  задано неравенство  \dfrac{(x+3)(x+1)^2}{2-x} > 0\ \ \ \Rightarrow  

 \dfrac{(x+3)(x+1)^2}{x-2} < 0  .  Знаки будут распределяться таким образом:  

+++(-3)---(-1)---(2)+++  

Тогда, учитывая, что неравенство строгое, получим ответ:

 x\in (-3\ ;-1\ )\cup (-1\ ;\ 2\ )   . Естественно, я знаки в явном виде не считала - долго, а учла, что есть 2 степень (чётная), и не меняла знак на интервале при переходе через точку х= -1 .


FaerVator: спасибо вам огромное!)
NNNLLL54: понял ?
FaerVator: ага)
Похожие вопросы
Предмет: Українська мова, автор: rubchinskaaa