Задание для хорошо объясняющих.
С подробным объяснением решите неравенство методом интервалов: (х+2)²(х²-7х+6)>=0
В объяснении указать :
1)Как определить знаки промежутков?
2)Почему соседние промежутки у корня(-2) данного неравенства должны иметь одинаковые знаки?
Обязательно с интервалом!!!
Ответы
Ответ:
Неравенство решаем методом интервалов .
Cначала нужно разложить функцию, записанную в левой части неравенства , до конца .
Первый множитель уже готов . А второй множитель - квадратный трёхчлен, корни которого легко находятся по теореме Виета .
Так как знаем корни кв. тр-на, то можно написать разложение его на множители .
Тогда заданное неравенство имеет окончательный вид :
.
1) Нули функции равны : ,
. Эти точки делят числовую ось на 4 промежутка . На них функция не меняет знак .
_________[-2 ] ________[ 1 ]___________[ 6 ]___________
Вычисляем знаки фунции f(x) , подставляя вместо переменной х какое-либо значение из исследуемого промежутка .
Например,
В этом промежутке ставим знак плюс .
Ставим знак минус .
Ставим знак плюс .
Ставим знак плюс .
Получили такую картинку:
Задано неравенство со знаком ≥ , поэтому выбираем промежутки, где записан знак плюс, причём граничные точки включаем в ответ, так как знак неравенства нестрогий .
или , учитывая, что х=2 входит в оба промежутка , можно записать короче .
Ответ: .
2) Когда считаешь знаки таким явным способом, то ошибки произойти не может (если правильно считаешь, причём сами числа в скобках вычислять не требуется, только знак нужен) . И при переходе через какую точку знак меняется или нет особо задумываться не надо .
А если пользоваться правилом, что знаки, начиная с крайнего правого интервала чередуются, считая от знака + , то ошибиться можно . Так как для чередования нужно, чтобы все скобки стояли в первой или нечётной степени . А если попадается скобка в чётной степени, как в этом примере , то чередования знаков не происходит . Ещё важен момент, что в скобках разность должна начинаться с переменной х . То есть скобки должны иметь вид (х-5) , а не (5-х) .
Например, задано неравенство
. Знаки будут распределяться таким образом:
Тогда, учитывая, что неравенство строгое, получим ответ:
. Естественно, я знаки в явном виде не считала - долго, а учла, что есть 2 степень (чётная), и не меняла знак на интервале при переходе через точку х= -1 .