Question

ХЕЛП1231111111111111111111111111111111111111111

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \boldsymbol {y(t) = c_1e^{-t}+c_2e^{4t}-\frac{e^{2t}}{6} }$

Объяснение:

Если сразу даны корни характеристического уравнения, то мы можем записать общее решение соответствующего однородного уравнения.

Корень (-1)  даст нам решение

$\displaystyle y_1(t) = c_1*e^{-t}$

Корень 4 даст нам решение

$\displaystyle y_2(t) = c_1*e^{4t}$

и тогда полное решение однородного уравнения

$\displaystyle y_c(t) = y_1(t)+y_2(t)=c_1*e^{-t}+c_2*e^{4t}$

Теперь ищем решение частное решение в виде

$\displaystyle y_p(t)=ae^{2t}$

Находим производные

$\displaystyle y_p'(t)=(ae^{2t})'=2ae^{2t}\\\\\\y_p''(t)=(ae^{2t})''=4ae^{2t}$

Подставляем их в уравнение

$\displaystyle 4ae^{2t}-3*(2ae^{2t})-4*(ae^{2t})=e^{2t}\\\\-6ae^{2t}=e^{2t}\\\\a = -\frac{1}{6}$

И тогда мы получаем решение

$\displaystyle y_p(t) = -\frac{e^{2t}}{6}$

И вот конечное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

$\displaystyle y(t) = y_c(t) +y_p(t) = c_1e^{-t}+c_2e^{4t}-\frac{e^{2t}}{6}$

#SPJ1