Question

Непрерывная функция f такова, что f(f(f(f(f(0)))))=0. Надо доказать, что уравнение f(f(x))=x имеет хотя бы один корень

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Пусть не так, и для всех $x$ верно

$f(f(x))\neq x\;\;\;\;\;(1)$.
Заменив в равенстве $f(f(f(f(f(0)))))=0$ ноль в левой части на всю левую часть, а также введя замену $g(t)=f(f(t))$, получим

$g(g(g(g(g(0)))))=0$, а предположение $(1)$ принимает вид $g(x)\neq x$.

Но тогда, принимая на каждом шаге вложенные функции за аргумент, последовательно получим
$0=g(g(g(g(g(0))))) \neq g(g(g(g(0))))\\ g(g(g(g(0)))) \neq g(g(g(0)))\\ g(g(g(0))) \neq g(g(0))\\ g(g(0)) \neq g(0)\\ g(0)\neq 0$

Получили, что $0\neq 0$ - противоречие. Значит, предположение неверно, и существует хотя бы один $x$, для которого $f(f(x))=x$.

Ч.т.д.