Question

допоможіть дуже теба​

Answer 1

Ответ:

Решением неравенства log_(0,5) (x²+x) ≥ -1 является промежуток [-2;-1) U (0;1].

Объяснение:

$\displaystyle \log_{0,5}\big(x^2+x)\geq -1$

Допишем возле (-1) логарифм с основанием и аргументом 0,5 и воспользуемся формулой logₐbˣ=xlogₐb.

$\displaystyle \log_{0,5}\big(x^2+x)\geq -1 \log_{0,5}0,5 \\\\ \log_{0,5}\big(x^2+x)\geq \log_{0,5} \Big(\frac{1}{2}\Big)^{-1} \\\\ \log_{0,5}\big(x^2+x)\geq \log_{0,5} 2$

Теперь мы имеем и справа, и слева логарифмы с основаниями 0,5. Значит, мы можем упустить их, оставив лишь аргументы, но, так как основания принадлежат промежутку (0;1), знак неравенства меняем на противоположный. И учитываем, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$\displaystyle \left \{ {{x^2+x > 0} \atop {x^2+x\leq 2}} \right.$

Решим первое неравенство системы методом интервалов.

$x^2+x > 0\\\\ x^2+x=0 \ \ \text{if} \ \ \ x=0 \ \ \text{or} \ \ x=(-1) \\\\x(x+1) > 0 \\\ \setlength{\unitlength}{28mm}\begin{picture}(1,0.5) \linethickness{0.1mm} \put(0.8,-0.2) { -1} \put(0.9,-0.024){\text{o}} \put(1.9,-0.2) {0} \put(1.9,-0.024){\text{o}} \put(0.25 ,0.1){ \LARGE \text{ +} } \put(1.25 ,0.1){ \LARGE \text{---} } \put(2.3,0.1) { \LARGE \text{ +} } \put(1,0.3)\ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture} \\\\\\ \boxed{x\in (-\infty; -1) \cup (0;+\infty)}$

Решаем второе неравенство методом интервалов, предварительно разложив квадратный трёхчлен на множители.

$\displaystyle x^2+x\leq 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^2+x-2=0 \ \\\\ x^2+x-2\leq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {{x_1+x_2=-1} \atop {x_1\cdot x_2=-2}} \right. \Leftrightarrow x_1=1,\ x_2=-2 \\\\ x^2+x-2=(x-1)(x+2) \\\\ (x-1)(x+2)\leq 0$

$\setlength{\unitlength}{28mm}\begin{picture}(1,0.5) \linethickness{0.1mm} \put(0.8,-0.2) { -2} \put(0.9,-0){\circle*{0.05}} \put(1.9,-0.2) {1} \put(1.92,-0){\circle*{0.05}} \put(0.25 ,0.1){ \LARGE \text{ +} } \put(1.25 ,0.1){ \LARGE \text{---} } \put(2.3,0.1) { \LARGE \text{ +} } \put(1,0.3)\ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture} \\\\\\ \boxed{x \in [-2;1]}$

Теперь находим пересечение двух имеющихся промежутков.

$\displaystyle \left \{ {{x\in (-\infty; -1) \cup (0;+\infty)} \atop {x \in [-2;1] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\setlength{\unitlength}{28mm}\begin{picture}(1,0.5) \linethickness{0.1mm} \put(0.4,-0.25) { -2} \put(0.5,-0){\circle*{0.05}} \put(2.4,-0.25) { 1} \put(2.47,-0){\circle*{0.05}} \put(1.09,-0.25) { -1} \put(1.15,-0.024){\text{o}} \put(1.85,-0.25) {0} \put(1.85,-0.024){\text{o}} \put(0 ,0.08){ \text{/ / / / / / / / / / / } } \put(0.45 ,-0.1){ \text{/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / } } \put(1.85,0.08) { \text{/ / / / / / / / / / / } } \put(1,0.3)\ \put(0,0){\vector (1,0){3}} \end{picture}$

Пересечение двух промежутков это и есть наш конечный ответ, тогда решением неравенства log_(0,5) (x²+x) ≥ -1 является промежуток [-2;-1) U (0;1].