Question

Будь ласочка, дуже сильно потрібна допомога !
(а)​

Answer 1

Ответ.

 $\bf 1\cdot 2+2\cdot 3+\ ...\ +n\cdot (n+1)=\dfrac{n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{3}$  

Метод математической индукции .

 Для удобства записи обозначим

    $S_{n}=\bf 1\cdot 2+2\cdot 3+\ ...\ +n\cdot (n+1)$

1)  Проверяем , выполняется ли данное утверждение при n=1 .

$S_1=1\cdot 2=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{3}\\\\{}\ \ 2=2$  

При  n=1  равенство выполняется .

2)  Предполагаем, что заданное утверждение выполняется при  n=k , где  k>1 .

$\bf S_{k}=1\cdot 2+2\cdot 3+\ ...\ +k\cdot (k+1)=\dfrac{k\cdot (k+1)\cdot (k+2)}{3}$  

3)  Докажем, что утверждение справедливо и при n=k+1 , опираясь на предположение в пункте 2, то есть докажем , что выполняется равенство

$\bf S_{k+1}=1\cdot 2+2\cdot 3+\ ...\ +k\cdot (k+1)+(k+1)\cdot (k+2)=\dfrac{(k+1)\cdot (k+2)\cdot (k+3)}{3}$  

Действительно,

$\bf S_{k+1}=\underbrace{\bf 1\cdot 2+2\cdot 3+\ ...\ +k\cdot (k+1)}_{S_{k}}+(k+1)\cdot (k+2)=\\\\\\=S_{k}+(k+1)(k+2)=\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} +(k+1)(k+2)=\\\\\\=(k+1)(k+2)\cdot \Big(\dfrac{k}{3}+1\Big)=(k+1)(k+2)\cdot \dfrac{k+3}{3}=\dfrac{(k+1)\cdot (k+2)\cdot (k+3)}{3}$  

Вывод:  данное утверждение справедливо для любого натурального n .