Question

Всем привет! У нас был тест с вопросом какой период у функции tg3x, я написала что он равен пи так как заданна функция функция тангенса. МНе это перечеркнули и сказали что это неправильно. Я потом разобралась что вроде как tg3x значит надо было разделить на 3. То есть получилось бы пи/3. Но я все равно не понимаю, надо так делить или нет. Ведь пи тоже подходит по определению периода, ну смотрите
tg(3x+пи)=пи под знаком тангенса сокращается и получается tg3x.
В общем я запуталась(( Как правильно найти период? Заранее спасибо!

Answer 1

Ответ:

1.  Действительно, если период функции  $\bf y=tgx$  равен  $\boldsymbol{T=\pi}$  , то период функции  $\bf y=tg(kx+b)$   равен   $\bf T_1=\dfrac{\pi}{|k|}$   .

Поэтому периодом функции  $\bf y=tg3x$   будет   $\boldsymbol{T_1=\dfrac{\pi }{3}}$   .

2.  У периодических функций можно в аргументе отбрасывать период функции и число, кратное периоду этой функции .

Действительно,  для функции у=tgx имеем:   $\boldsymbol{tg(x+k\cdot \pi )=tgx}$  .

Например,  $\boldsymbol{tg(x+3\pi )=tgx\ \ ,\ \ tg(x+6\pi )=tgx}$  .

Так как периодом функции   $\bf y=tg3x$   является   $\boldsymbol{T_1=\dfrac{\pi }{3}}$  , то верно равенство  $\boldsymbol{tg\Big(3x+3\cdot \dfrac{\pi}{3}\Big)=tg(3x+3\cdot T_1)=tg3x}$  .  

Но   $\boldsymbol{tg\Big(3x+3\cdot \dfrac{\pi}{3}\Big)=tg\Big(3x+\pi \Big)}$  ,  поэтому, если сравнить правые части последних двух равенств, то действительно верно равенство  $\boldsymbol{tg\Big(3x+\pi \Big)=tg3x}$   .  

Значит π - период, но не наименьший положительный . Число π кратно наименьшему положительному периоду  П/3 .

Коэффициент k=3 у аргумента, влияет на сжатие к оси ОУ (вдоль оси ОХ) исходной функции  y=tgx . Если придавать значения аргументу и посмотреть на график функции у=tg3x , то понятно, что нули функции  у=tg3x  встречаются в 3 раза чаще, чем у функции  y=tgx .

$x=0\ ,\ \ tg(3\cdot 0)=tg\, 0=0\\\\x=\dfrac{\pi }{3}\ ,\ \ tg3x=tg\Big(3\cdot \dfrac{\pi }{3}\Big)=tg\pi =0\\\\x=\dfrac{2\pi }{3}\ ,\ \ tg3x=tg\Big(3\cdot \dfrac{2\pi }{3}\Big)=tg(2\pi )=0\\\\x=\pi \ ,\ \ tg3x=tg(3\cdot \pi )=tg(3\pi )=0$  

Так же и с остальными значениями. Они будут встречаться в 3 раза чаще у функции у=tg3x , чем у функции у=tgx .

3.  Ещё можно понять, что период функции  у=tg3x  равен  Т₁=П/3 , решив уравнение, например, такое  

$\boldsymbol{tg3x=\dfrac{\sqrt3}{3}\ \ \Rightarrow \ \ \ 3x=\dfrac{\pi }{6}+\pi n\ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{18}+\dfrac{\pi n}{3}\ \ ,\ \ n\in Z}$  

Как видим, значение переменной  х будет повторяться через  $\boldsymbol{\dfrac{\pi n}{3}}$

 единиц . Наименьшее положительное число будет  $\boldsymbol{\dfrac{\pi }{3}}$   при  n=1 , что

соответствует периоду функции  y=tg3x .