Задан равносторонний треугольник ABC, в который вписана окружность радиусом 3√3. Найдите: а) площадь треугольника (12 баллов); б) радиус описанной около треугольника ABC окружности (10 баллов); в) длину меньшей дуги AB (15 баллов). Помогите пожалуйста.
Ответы
а) Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности S= 3√3•r².
Если r — радиус и по условию r= 3√3, тогда:
S= 3√3•(3√3)²= (3√3)³= 81√3.
б) Центр вписанной в равностонний треугольник окружности лежит в точке пересечения медиан, высот и биссектрис и серединных перпендикуляров. Точка их пересечения делит их на два отрезка, больший из которых равен радиусу описанной окружности, а меньший - радиусу вписанной окружности. На рисунке, ВВ1 — высота, медиана и биссектриса треугольника АВС, делящаяся центром О на отрезки ВО и ОВ1, такие, что ВО:ВО1=2:1. Поскольку ВО1= 3√3, то ВО= 2•3√3= 6√3. Длина ВО=6√3 и есть радиусом описанной около треугольника ABC окружности.
в) Длина дуги= (х°/180°) • πR.
В треугольнике АОС1:
cos∠AOC1= OC1/OA= (3√3)/(6√3)= 0,5.
cos∠AOC1= 0,5 => ∠AOC1= 60°. (P.S. можно другим путем найти угол: ∠C1AO= 30°, т.к. АА1 биссектриса, тогда ∠AOC1=90°–30°=60°)
Отсюда, ∠АОВ= 2∠AOC1= 2•60°= 120°.
◡АВ= (120°/180°) •π•6√3= 4√3π или, при π=3,14, ◡АВ= 4√3•3,14= 12,56√3.
Ответ: а) 81√3
б) 6√3
в) 4√3π или 12,56√3.
Рисунок приложено.
