Question

решите подробно пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$f(x)=C\cdot x, C - Const$

Объяснение:

Положим $y=0$:

$f(x^2)=xf(x)+f(0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

Далее $x=1$:

$f(1)=f(1)+f(0)\\ f(0)=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

В соответствии с этим (1) принимает вид

$f(x^2)=xf(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

Произведя в последнем равенстве замену $x\to -x$ и приравняв правые части, получим

$-xf(-x)=xf(x)$
Отсюда, либо решением является $f(x)=0$, либо

$f(-x)=-f(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$

С учетом (3) исходное уравнение принимает вид

$f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$

А с учетом (4) и замены $y\to-y$ получим

$-f(-x^2-y)=-f(-x^2)-f(-y)\\ f(-x^2+y)=f(-x^2)+f(y)\;\;(6)$

Соответственно, с учетом (5) и (6), уравнение равносильно функциональному уравнению Коши $f(x+y)=f(x)+f(y)$, которое в непрерывных функциях имеет единственное семейство решений

$f(x)=C\cdot x, C - Const$

---------------------------------------------------------------------

После получения (2) можно было рассуждать иначе, выполнив преобразования условия:

$f(x^2+y)-f(y)=x\cdot f(x)-x\cdot f(0)\\ \dfrac{f(y+x^2)-f(y)}{x^2}=\dfrac{f(0+x)-f(0)}{x}$
Устремляя x к нулю, получим с обеих сторон не что иное, как производные:

$f'(y)=f'(0)$

А это значит, что $f'(x)=C_1, C_1-Const$, откуда, в свою очередь,
$f(x)=C_1x+C_2; C_1,C_2 - Const$

Остается подставить в условие задачи:

$C_1(x^2+y)+C_2=x\cdot (C_1 x+C_2)+C_1y+C_2\\ 0=x\cdot C_2\\ C_2=0\\ f(x)=C\cdot x, C-Const$

Answer 2

Ответ:

$f(x)=Cx,\ C\in R$

Объяснение:

Хочется внести и свою лепту, хотя первое решение исчерпывающе (в классе непрерывных функций; впрочем, непрерывность я тоже буду предполагать).

Прошу прощения, если местами решения будут совпадать.

   Взяв y=x, получаем уравнение

                                      $f((x+1)x)=(x+1)f(x);$

подставив x=-1, получаем f(0)=0.  

Далее, взяв y=0, получаем

                                       $f(x^2)=xf(x),$

что равносильно при положительных x уравнению

                                        $f(x)=\sqrt{x}f(\sqrt{x}).$

А отсюда получается цепочка

  $f(x)=\sqrt{x}f(\sqrt{x})=\sqrt{x}\cdot \sqrt[4]{x}f(\sqrt[4]{x})=\ldots =\sqrt{x}\cdot\sqrt[4]{x}\cdot \ldots\cdot \sqrt[2^n]{x}f(\sqrt[2^n]{x})=$

                                     $=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{2^n}}f(\sqrt[2^n]{x}).$

Поскольку $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{2^n}=1-\dfrac{1}{2^n}\to 1$  при  $n\to\infty,$

а $\sqrt[2^n]{x}\to 1,$ а также учитывая непрерывность функции, получаем равенство (пока что при положительных x)

                                           $f(x)=xf(1).$

Распространение этого равенства на отрицательные x не вызывает затруднений. Точнее, будем по-прежнему считать, что x>0, и докажем, что f(-x)=-xf(1). В самом деле, подставим в равенство f(x²)=xf(x)  вместо x минус x:

 $f(x^2)=-xf(-x);\ f(-x)=-\dfrac{1}{x}f(x^2)=-\dfrac{1}{x}\cvdot x^2f(1)=-xf(1),$

что и требовалось доказать.

Итак, доказано, что если непрерывная функция удовлетворяет исходному равенству, то она имеет вид

                                            $f(x)=Cx.$

Докажем, что все такие функции удовлетворяют исходному уравнению:

$f(x^2+y)=C(x^2+y)=Cx^2+Cy=x\cdot Cx+f(y)=xf(x)+f(y).$