Question

В олимпиаде по математике принимали участие 40 учащихся. Им было предложено решить по одной задаче по алгебре, геометрии и тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек,по геометрии - й8, по тригонометрии - 18,по алгебре и геометрии - 7,по алгебре и тригонометрии - 8, по геометрии и тригонометрии 9.не решили ни одной задачи трое. Сколько учащихся решили все три задачи? Сколько учащихся решило только две задачи?

Answer 1

Ответ:

6 человек

Пошаговое объяснение:

Пусть А - множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре,

Г - множество абитуриентов, решивших задачу по геометрии,

Т- множество абитуриентов, решивших задачу по тригонометрии.

Дано |А|=20, |Г|=18, |Т|=18, |А∩Г|=8,|А∩Т|=9, |Г∩Т|=8.

Т.к. из 40 учащихся 3 не решили ни одной задачи,

то |А∪Г∪Т|=40-3=37 человек решили хотя бы 1 задачу.

Формула включений и исключений для трёх множеств. Для любых конечных множеств A, B и C справедливо равенство |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Отсюда получаем:

|A ∩ Г ∩ Т|=|A ∪ Г ∪ Т| - |A| - |Г| - |Т| + |A ∩ Г| + |Г ∩ Т| + |A ∩ Т|

|A ∩ Г ∩ Т|=37-20-18-18+8+9+8=6 человек решило 3 задачи