Question

скільки пар натуральних чисел х і у задовольняють рівність ху=х+2у+2022​

Answer 1

Ответ:

16

Пошаговое объяснение:

Преобразуем:                          (x-2)(y-1)=2024.

При этом x-2 - целое число, не меньшее - 1, y-1 целое число, не меньшее 0. Если x-2=-1, то y-1=-2024, что невозможно. Также не подходят случаи, когда x-2=0 или y-1=0, поскольку в этом случае произведение (x-2)(y-1) равно нулю. Вывод: x-2 и y-1 - натуральные числа, поэтому задача сводится к поиску различных разложений числа 2024 на натуральные множители.

Имеем:      

                   2024=2·1012=2·2·506=2·2·2·253=2·2·2·11·23.

Иными словами,        

                                         $2024=2^3\cdot 11\cdot 23$ -

разложение на простые множители.

Количество пар натуральных чисел (x-2) и (y-1) совпадает с количеством натуральных делителей числа 2024 (если x-2 - делитель, то

                                           $y-1=\dfrac{2024}{x-2}$  

тоже делитель).

Каждый делитель числа 2024 имеет вид

                                             $2^k\cdot 11^m\cdot 23^n,$

где

                           $k\in\{0;\ 1;\ 2;\ 3\};\ m\in \{0;\ 1\};\ n\in\{0;\ 1\}.$

В частности,      $1=2^0\cdot 11^0\cdot 23^0;\ 2=2^1\cdot 11^0\cdot 23^0$, и так далее.

Итак, для k есть 4 возможности, для m  и n - по две возможности, поэтому всего  

                                                $4\cdot 2\cdot 2=16$

делителей числа 2024, и столько же пар натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству xy=x+2y+2022.