Question

Доведіть що, число 1og₃₊₂√₂(3-2√2) є цілим

Answer 1

Ответ: 

Применим свойства логарифма :

  $\bf log_{a}\, a=1\ \ ,\ \ log_{a}\, b^{k}=k\cdot log_{a}\, b\ ,\ \ a > 0\ ,\ a\ne 1\ ,\ b > 0\ .$   .

$\bf log\ _{3+2\sqrt2}\ (3-2\sqrt2)=log\ _{\bf 3+2\sqrt2}\ \dfrac{(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)}{3+2\sqrt2}=\\\\\\=log\ _{3+2\sqrt2}\ \dfrac{3^2-(2\sqrt2)^2}{3+2\sqrt2}=log\ _{3+2\sqrt2}\ \dfrac{9-8}{3+2\sqrt2}=log\ _{3+2\sqrt2}\ \dfrac{1}{3+2\sqrt2}=\\\\\\=log\ _{3+2\sqrt2}\, (3+2\sqrt2)^{-1}=-1\cdot log\ _{3+2\sqrt2}\ (3+2\sqrt2)=-1\cdot 1=-1$  

Получили целое число  -1 .