Question

знайти похідні функції:

1)
$f(x) = ln \sqrt{ \frac{x - 1}{x + 1} }$
2)
$f(x) = { \sin }^{3} 7x$
3)
$f(x) = ln \: { \cos }^{2} 8x$
​

Answer 1

Ответ:

Производные функций:

1) $f'(x) = \dfrac{1}{x^{2} -1}$

2) $f'(x) = 21 \cos 7x \sin^{2} 7x$

3) $f'(x) = -16\ \text{tg} \ 8x$

Примечание:

По таблице производных:

$\boxed{(\ln x)' = \frac{1}{x} }$

$\boxed{(\sqrt{x} )' = \frac{1}{2\sqrt{x} } }$

$\boxed{C' = 0}$, где $C \in \mathbb R$

$\boxed{(x^{n})' = nx^{n - 1}}$

$\boxed{(\sin x)' = \cos x}$

$\boxed{(\cos x)' = -\sin x}$

Правила дифференцирования:

$(f \pm g)' = f' \pm g'$

$(fg)' = f'g + fg'$

$\bigg(\dfrac{f}{g} \bigg)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^{2}}$

$f(g) = g'f'(g)$

$(kf)' = k(f')$, где $k \in \mathbb R$

$f,g \ -$ функции одной переменной

Пошаговое объяснение:

1) $f(x) = \ln \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1} }$

$f'(x) = \bigg( \ln \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1} } \bigg)' = \dfrac{\Bigg(\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1} } \Bigg)'}{\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1} } } =\dfrac{\bigg( \dfrac{x - 1}{x + 1}\bigg)'}{2\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1} } } \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 1} } } =$

$= \dfrac{\dfrac{(x - 1)'(x + 1) - (x + 1)'(x - 1)}{(x + 1)^{2}} }{\dfrac{2(x - 1)}{(x + 1)} } = \dfrac{(x + 1)(x + 1 - (x - 1))}{2(x - 1)(x + 1)^{2}} = \dfrac{x+1-x +1}{2(x - 1)(x + 1)} =$

$= \dfrac{2}{2(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)}=\dfrac{1}{x^{2} -1}$

2) $f(x) = \sin^{3}7x$

$f'(x) = (\sin^{3}7x)' = (\sin 7x)'\cdot 3\sin^{2} 7x = (7x)'\cdot 3 \cos 7x \sin^{2} 7x=$

$= 7 \cdot 3 \cos 7x \sin^{2} 7x=21 \cos 7x \sin^{2} 7x$

3) $f(x) = \ln \cos^{2} 8x$

$f'(x) = (\ln \cos^{2} 8x)' = \dfrac{(\cos^{2} 8x)'}{\cos^{2} 8x} =\dfrac{(\cos 8x)' \cdot 2 \cos 8x}{\cos^{2} 8x} = -\dfrac{(8x)' \cdot 2 \sin 8x }{\cos 8x} =$$= -8 \cdot 2 \ \text{tg} \ 8x = -16\ \text{tg} \ 8x$