Question

1)Докажите, что (n в квадрате +n)(n+2) кратно 3.

2)Докажите, что n в кубе - n кратно 6

Answer 1

1) (n² +n)(n+2) кратно 3.

    (n² +n)(n+2)  =  n(n +1)(n+2)   данное выражение является произведением трех последовательных натуральных чисел,  но т.к.  из трех последовательных чисел хотя бы одно всегда кратно трем, то значит хотя бы один из множителей n,  n +1 или n+2  делится на 3  =>  всё выражение кратно трем.

2)  n³ - n кратно 6

     n³ - n =  n(n² - 1) = n(n - 1)(n +1) = (n - 1)n(n +1)   аналогично предыущему примеру кратно 3,  но произведение трех последовательных натуральных чисел  также кратно и 2, т.к. из двух последовательных чисел хотя бы одно всегда кратно двум.  Итак, данное выражение кратно 2 и 3,  значит по признаку делимости на 6 оно кратно 6.